[论文解读] Invertible Topological Field Theories

Christopher Schommer‐Pries|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

该论文通过证明其与Madsen-Tillmann谱的(n−d)-连通覆盖的上同调之间存在双射，对具有切向(X,ξ)-结构的d维可逆拓扑量子场论进行了分类。该分类通过将(∞,n)-范畴的d- bordism的分类空间识别为E∞-空间Ω^{∞−n}MTξ而实现，推广了Galatius-Madsen-Tillmann-Weiss以及Bökstedt-Madsen的先前结果。

ABSTRACT

A $d$-dimensional invertible topological field theory is a functor from the symmetric monoidal $(\infty,n)$-category of $d$-bordisms (embedded into $\mathbb{R}^\infty$ and equipped with a tangential $(X,ξ)$-structure) which lands in the Picard subcategory of the target symmetric monoidal $(\infty,n)$-category. We classify these field theories in terms of the cohomology of the $(n-d)$-connective cover of the Madsen-Tillmann spectrum. This is accomplished by identifying the classifying space of the $(\infty,n)$-category of bordisms with $Ω^{\infty-n}MTξ$ as an $E_\infty$-spaces. This generalizes the celebrated result of Galatius-Madsen-Tillmann-Weiss in the case $n=1$, and of Bokstedt-Madsen in the $n$-uple case. We also obtain results for the $(\infty,n)$-category of $d$-bordisms embedding into a fixed ambient manifold $M$, generalizing results of Randal-Williams in the case $n=1$. We give two applications: (1) We completely compute all extended and partially extended invertible TFTs of dimension $d \leq 4$ with target a certain category of $n$-vector spaces (for $n \leq 4$), and (2) we use this to give a negative answer to a question raised by Gilmer and Masbaum.

研究动机与目标

• 在扩展的(∞,n)-范畴框架下，对具有(X,ξ)-结构的d维可逆拓扑量子场论进行分类。
• 将Galatius-Madsen-Tillmann-Weiss关于 bordism范畴分类空间的结果推广至更高n值及可逆TFT的情形。
• 将Randal-Williams在嵌入流形中的bordism范畴结果推广至(∞,n)-范畴设定。
• 为n ≤ 4时目标范畴为n-向量空间的扩展及部分扩展可逆TFT提供完整分类。
• 解决Gilmer与Masbaum提出的问题，即关于拓扑量子场论中某些不变量的结构。

提出的方法

• 使用嵌入ℝ^∞中的具有(X,ξ)-结构的d-bordism的(∞,n)-范畴，通过纤维丛ξ: X → BO(d)赋予其切向结构。
• 应用Segal的扫描方法，将嵌入流形的分类空间识别为E∞-空间Ω^{∞−n}MTξ。
• 利用n重Segal空间对bordism的(∞,n)-范畴进行建模，并构造该范畴的几何实现。
• 通过纤维丛Thom空间与E_p-Operad，建立嵌入流形空间与Thom空间之间的E_p-等价。
• 依赖Madsen-Tillmann谱MTξ，通过其上同调（特别是(n−d)-连通覆盖）对可逆TFT进行分类。
• 应用同伦论技术计算MTSO(d)的低维同伦群，并将其与欧拉示性数和示性类不变量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在扩展的(∞,n)-范畴设定下，如何对d维可逆拓扑量子场论进行分类？
• RQ2 具有(X,ξ)-结构的d-bordism的(∞,n)-范畴的分类空间是什么？它与Madsen-Tillmann谱有何关系？
• RQ3 bordism范畴的分类能否从n=1推广至一般n值？这一推广如何扩展Galatius-Madsen-Tillmann-Weiss的结果？
• RQ4 当d = 1, 2, 3, 4时，π₀MTSO(d)的结构如何？欧拉示性数与示性类在其中起什么作用？
• RQ5 每个目标为n-向量空间的可逆TFT是否都源于MTξ的(n−d)-连通覆盖上的上同调类？

主要发现

• 具有(X,ξ)-结构的d-bordism的(∞,n)-范畴的分类空间作为E∞-空间，同伦等价于Ω^{∞−n}MTξ。
• 当d=1时，π₀MTSO(1) ≅ ℤ/2ℤ，其来源于谱同伦中的关系[S¹] = 1。
• 当d=2时，π₀MTSO(2) ≅ ℤ，同构将曲面Σ_g映射为其欧拉示性数的一半：(1−g)/2。
• 当d=3时，π₀MTSO(3) = 0，因为每个定向3-流形都以欧拉示性数为零的4-流形为边界。
• 当d=4时，π₀MTSO(4) 适合一个分裂的短正合列 0 → ℤ → π₀MTSO(4) → ℤ → 0，其中核由欧拉示性数的一半给出，余核由示性类给出。
• π₀MTSO(4) ≅ ℤ⊕ℤ的显式分裂由M ↦ (½(χ(M)+σ(M)), σ(M))给出，消除了欧拉示性数模2的歧义。