[论文解读] Inverting non-invertible trees

Soña Pavlíková, Jozef Širáň|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2017

Graph theory and applications被引用 1

一句话总结

本论文通过使用对称广义逆（Moore-Penrose/Drazin/群逆），在邻接矩阵奇异的情况下，为边带标签的树引入了一种广义逆，将Godsil的逆树定理推广至非非奇异情形。该研究给出了单位边权树的广义逆的闭式公式，该公式以交错路径和最大匹配表示，并证明广义逆矩阵与原邻接矩阵具有高斯等价性，且满足广义逆条件。

ABSTRACT

If a graph has a non-singular adjacency matrix, then one may use the inverse matrix to define a (labeled) graph that may be considered to be the inverse graph to the original one. It has been known that an adjacency matrix of a tree is non-singular if and only if the tree has a unique perfect matching; in this case the determinant of the matrix turns out to be $\pm 1$ and the inverse of the tree was shown to be `switching-equivalent' to a simple graph [C. Godsil, Inverses of Trees, Combinatorica 5 (1985), 33--39]. Using generalized inverses of symmetric matrices (that coincide with Moore-Penrose, Drazin, and group inverses in the symmetric case) we prove a formula for determining a `generalized inverse' of a tree.

研究动机与目标

• 将图的逆概念扩展至邻接矩阵奇异的树，其中标准矩阵逆失效。
• 利用对称广义逆（Moore-Penrose、Drazin或群逆），在对称情形下三者一致，为边带标签的树定义广义逆。
• 为单位边权的树提供广义逆的闭式公式，将Godsil的逆树定理推广至非完美匹配情形。
• 建立广义逆矩阵与原邻接矩阵高斯等价，确保其与逆矩阵性质一致。

提出的方法

• 将树T的广义逆定义为边带标签图(T*, α*)，其邻接矩阵A*为T的邻接矩阵A的对称广义逆。
• 利用对称矩阵的正交对角化：A = PDP^T，故A* = PD*P^T，其中D*对非零特征值取逆，零特征值置零。
• 引入相对于最大匹配M的uMv交错路径概念，并定义系数µT\xy(u,v)，表示在移除顶点x,y后的树T中，此类路径的数量。
• 通过相对于中心边xy的顶点集V1与V2的划分，采用归纳法建立递归结构，证明广义逆矩阵C与A高斯等价。
• 利用特征向量分析与零空间等价性：若A与B = m(T)⁻¹C具有相同的零空间，且在非零特征值下共享特征向量，则B为A的广义逆。
• 借助已知情形（如谱为(±√n, 0ⁿ⁻¹)的星形图）推导广义逆结构，导出涉及m(T)（最大匹配数）的公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为邻接矩阵奇异的树定义广义逆，从而扩展经典逆图构造？
• RQ2 当邻接矩阵奇异时，单位边权树的广义逆是否存在显式公式？
• RQ3 广义逆与树中交错路径及最大匹配有何关系？
• RQ4 广义逆矩阵是否与原邻接矩阵高斯等价？这是否意味着其具备正确的逆性质？
• RQ5 能否通过特征子空间分析推导逆的结构，而无需显式矩阵求逆？

主要发现

• 单位边权树T的广义逆由矩阵B = m(T)⁻¹C给出，其中C的(u,v)元素表示相对于最大匹配的交错路径数量。
• 矩阵C与原邻接矩阵A高斯等价，这意味着A与B具有相同的零空间，且与广义逆性质一致。
• 对于具有n片叶的星形图，广义逆为A* = n⁻¹A，验证了该公式与已知谱情形的一致性。
• 广义逆矩阵B满足B = A*（在对称广义逆意义下），即A*是唯一满足A A* A = A与A* A A* = A*的对称矩阵。
• 该公式通过在归一化中引入最大匹配数m(T)，将Godsil的逆树定理推广至无完美匹配的树。
• 证明依赖于顶点划分的结构归纳与特征向量一致性分析，表明广义逆保持了谱与组合结构。