[论文解读] Involutions on a surface of general type with $p_g=q=0$, $K^2=7$

Yongnam Lee, YongJoo Shin|Osaka City University (Osaka City University)|Mar 18, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文对 $p_g = q = 0$ 且 $K^2 = 7$ 的一般型极小曲面上的对合所导出的商曲面的双有理模型与分支除子进行了分类。通过 blows-up 和奇点的解析，证明当商曲面双有理同构于一个 Enriques 曲面时，该对合恰好有 9 个不动点，且分支除子 $B_0$ 采取特定配置，涉及具有给定自交数的亏格 1、3 或 4 的曲线。

ABSTRACT

In this paper we study on the involution on minimal surfaces of general type with $p_g=q=0$ and $K^2=7$. We focus on the classification of the birational models of the quotient surfaces and their branch divisors induced by an involution.

研究动机与目标

• 对 $p_g = q = 0$ 且 $K^2 = 7$ 的一般型极小曲面上的对合所诱导的商曲面及其分支除子的双有理模型进行分类。
• 确定此类曲面的商曲面是否可能双有理同构于一个 Enriques 曲面，基于 $K^2 = 1,2,3,4$ 时已知的例子。
• 排除 $K^2 = 8,9$ 时此类商曲面的可能性，并集中关注尚未解决的 $K^2 = 5,6,7$ 情况。
• 在商曲面双有理同构于 Enriques 曲面时，确定分支除子 $B_0$ 的精确配置。
• 建立此类曲面具有一个 2-挠元，并且在对合作用下恰好有 9 个不动点。

提出的方法

• 构建一个交换图，包含极小曲面 $S$、其在 $k$ 个不动点处的 blows-up $V$、商曲面 $W = S/\sigma$，以及商奇点的极小解析曲面 $\Sigma$。
• 通过在 $k$ 个孤立不动点处对 $S$ 进行 blows-up，得到 $V$ 和诱导映射 $\tilde{\pi}: V \to W$，以解析商奇点。
• 利用邻接公式与 Hurwitz 公式分析分支除子 $B_0 = \tilde{\pi}(R_0)$，其中 $R_0 = \epsilon^*(R)$ 且 $R$ 是 $S$ 上对合 $\sigma$ 的不动曲线。
• 通过在中间曲面 $T_i$ 和 $\Sigma_i$ 上的交点理论，计算 $K_W^2$ 以及 $B_0$ 的不可约分支 $\Gamma_i$ 的自交数与几何亏格，追踪 $(-1)$-曲线与节点。
• 应用文献 [6] 和 [8] 的结果，根据 $K_W^2$ 与 $H^0(W, \mathcal{O}_W(2K_W))$ 判断 $W$ 是否为有理曲面、正则椭圆曲面、一般型曲面，或双有理同构于 Enriques 曲面。
• 利用 $k$-不动点情形（$k = 5,7,9,11$）的分类，系统枚举可能的 $B_0$ 配置及其几何不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 当对合作用于 $p_g = q = 0$ 且 $K^2 = 7$ 的一般型极小曲面时，商曲面 $W$ 上的分支除子 $B_0$ 可能有哪些配置？
• RQ2 此类商曲面 $W$ 是否可能双有理同构于一个 Enriques 曲面？若可以，对不动点集与 $B_0$ 的必要条件是什么？
• RQ3 对合的不动点数 $k$ 如何与 $K_W^2$ 及 $W$ 的双有理类型相关联？
• RQ4 当 $W$ 双有理同构于 Enriques 曲面时，$B_0$ 的不可约分支的几何不变量（亏格、自交数）是什么？
• RQ5 此类曲面是否必然在其 Picard 群中具有一个 2-挠元？这与对合的结构有何关联？

主要发现

• 当商曲面 $W = S/\sigma$ 双有理同构于 Enriques 曲面时，对合 $\sigma$ 恰好有 9 个不动点，且 $S$ 上的不动除子 $R$ 要么是一条亏格 3 的曲线，要么是亏格 1 与亏格 3 曲线的并。
• 在 $W$ 的极小模型上，分支除子 $B_0$ 采取以下形式之一：$\begin{subarray}{c}\Gamma_0\\(3,0)\end{subarray} + \begin{subarray}{c}\Gamma_1\\(1,-2)\end{subarray}$，$\begin{subarray}{c}\Gamma_0\\(3,-2)\end{subarray}$，或其他配置，其中 $\Gamma_0$ 为亏格 3 或 4，$\Gamma_1$ 为亏格 1 或 2。
• 当 $k = 9$ 时，$K_W^2 = -2$，且 $W$ 双有理同构于 Enriques 曲面当且仅当 $B_0$ 为 $\begin{subarray}{c}\Gamma_0\\(3,0)\end{subarray} + \begin{subarray}{c}\Gamma_1\\(1,-2)\end{subarray}$ 或 $\begin{subarray}{c}\Gamma_0\\(3,-2)\end{subarray}$。
• 当 $k = 11$ 时，$S$ 的双 canonical 映射与对合相组合，$W$ 为有理曲面，$K_W^2 = -4$，且此处未完全分类 $B_0$，因已有先前工作。
• 曲面 $S$ 在其 Picard 群中具有一个 2-挠元，此由对合结构与商几何所决定。
• 分类结果表明，$W$ 的类型取决于 $k$ 与 $K_W^2$：为一般型、正则椭圆曲面或有理曲面；$k = 5$ 时 $K_W^2 = 2$ 且 $B_0 = \begin{subarray}{c}\Gamma_0\\(1,-2)\end{subarray}$；$k = 7$ 时 $K_W^2 = 1$ 或 $0$，且具有多种 $B_0$ 类型。