[论文解读] IP-Dirichlet measures and IP-rigid dynamical systems: an approach via generalized Riesz products

Sophie Grivaux|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文提出了一种广义Riesz积方法，用于研究IP-Dirichlet测度与IP-刚性动力系统，证明了对于由Erdös-Taylor序列构造的特定序列，存在一个连续概率测度，该测度关于该序列是IP-Dirichlet的，同时满足$G_\infty((n_k)) = \{1\}$，从而回答了关于此类测度是否存在且$G_\infty$-集为平凡集的关键问题。

ABSTRACT

If $(n_{k})_{k\\ge 1}$ is a strictly increasing sequence of integers, a continuous probability measure $\\sigma $ on the unit circle $\\mathbb{T}$ is said to be IP-Dirichlet with respect to $(n_{k})_{k\\ge 1}$ if $\\hat{\\sigma}(\\sum_{k\\in F}n_{k})\ o 1 $ as $F$ runs over all non-empty finite subsets $F$ of $\\mathbb{N}$ and the minimum of $F$ tends to infinity. IP-Dirichlet measures and their connections with IP-rigid dynamical systems have been investigated recently by Aaronson, Hosseini and Lema\\'nczyk. We simplify and generalize some of their results, using an approach involving generalized Riesz products.

研究动机与目标

• 通过广义Riesz积简化并推广动力系统中IP-Dirichlet测度与IP-刚性的相关结果。
• 研究在$G_\infty((n_k)) = \{1\}$条件下，是否存在关于序列的连续概率测度为IP-Dirichlet，该条件此前未知是否可实现。
• 提供一个序列$(n_k)$与连续测度$\sigma$的构造性例子，使得当$\min(F) \to \infty$时，有$\hat{\sigma}(\sum_{k\in F}n_k) \to 1$，同时满足$G_\infty((n_k)) = \{1\}$。

提出的方法

• 本文采用广义Riesz积，在单位圆周$\mathbb{T}$上构造具有预定谱性质的连续概率测度。
• 利用由Erdös-Taylor给出的序列$(p_k)$，其中$p_1 = 1$，$p_{k+1} = k p_k + 1$，作为构造目标序列$(n_k)$的基础。
• 将索引划分为二进制块$\{2^q + 1, \dots, 2^{q+1}\}$，并将$\{n_k\}$定义为所有这些块的非空子集的有限和的并集。
• 应用涉及小数部分$\{t\}$及不等式$|e^{2i\pi t} - 1| \asymp \{t\}$的估计，以控制$\lambda \in \mathbb{T}$时$|\lambda^{n_k} - 1|$的行为。
• 证明依赖于反证法：假设$\lambda \neq 1$且对大的$k$有$|\lambda^{n_k} - 1| < \varepsilon$，则导出$|\lambda^{p_k} - 1|$的下界，与IP-Dirichlet性质的衰减条件矛盾。
• 利用$\sum_{k=2^q+1}^{2^{q+1}} |\lambda^{p_k} - 1| < 2C^2\varepsilon$对大的$q$成立的事实，若$\lambda \neq 1$则导出矛盾，从而证明$G_\infty((n_k)) = \{1\}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个连续概率测度，使其关于序列$(n_k)$为IP-Dirichlet，且满足$G_\infty((n_k)) = \{1\}$？
• RQ2 能否构造一个序列$(n_k)$，使得当$\min(F) \to \infty$时，有$\hat{\sigma}(\sum_{k\in F}n_k) \to 1$，同时满足$G_\infty((n_k)) = \{1\}$？
• RQ3 IP-Dirichlet连续测度的存在是否意味着$G_\infty((n_k)) = \{1\}$，还是此类测度可能存在于更大的$G_\infty$-集中？
• RQ4 广义Riesz积方法能否用于显式构造此类测度，而非依赖于抽象存在性定理？

主要发现

• 存在一个连续概率测度$\sigma$，其关于由Erdös-Taylor序列构造的序列$(n_k)$为IP-Dirichlet。
• 对于该序列，有$\hat{\sigma}(n_k) \to 1$当$k \to \infty$，证实$\sigma$也是关于$(n_k)$的Dirichlet测度。
• $G_\infty((n_k)) = \{\lambda \in \mathbb{T} \mid |\lambda^{n_k} - 1| \to 0\}$被证明等于$\{1\}$，即没有任何非平凡单位根满足统一衰减条件。
• 构造确保对所有大的$q$，有$\sum_{k=2^q+1}^{2^{q+1}} |\lambda^{p_k} - 1| < 2C^2\varepsilon$，这是反证法论证的关键。
• 当假设$\lambda \neq 1$且对所有大的$k$有$|\lambda^{p_k} - 1| > (2C^2\varepsilon)/k$时，矛盾产生，违反了衰减界限。
• 结果确认$G_\infty((n_k)) = \{1\}$，从而提供了IP-刚性可能成立的明确例子，即使$G_\infty$中不存在非平凡谱点。