[论文解读] IR-truncated $\mathcal{PT}-$symmetric $ix^3$ model and its asymptotic spectral scaling graph

Uwe Guenther, Frank Stefani|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2019

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文研究了在有限区间 $[-L,L]$ 上的 IR 截断 $π\mathcal{T}$-对称 $ix^3$ 量子力学模型，采用 WKB 和 Stokes 图分析，推导出与截断 $L$ 无关的渐近不变谱标度图 $\mathcal{R} \subset \mathbb{C}$。关键结果是，完整 $x \in \mathbb{R}$ 模型的无界本征值序列趋向于谱无穷远处 $\mathcal{P}\mathcal{T}$-对称性破缺区域的映射版本，为 $\mathcal{P}\mathcal{T}$-对称 $-(ix)^{2n+1}$ 模型与厄米模型不等价提供了证据，并揭示了其与凝聚过程相关的非 Riesz 型模式行为。

ABSTRACT

The $\mathcal{PT}-$symmetric quantum mechanical $V=ix^3$ model over the real line, $x\in\mathbb{R}$, is infrared (IR) truncated and considered as Sturm-Liouville problem over a finite interval $x\in\left[-L,L ight]\subset\mathbb{R}$. Via WKB and Stokes graph analysis, the location of the complex spectral branches of the $V=ix^3$ model and those of more general $V=-(ix)^{2n+1}$ models over $x\in\left[-L,L ight]\subset\mathbb{R}$ are obtained. The corresponding eigenvalues are mapped onto $L-$invariant asymptotic spectral scaling graphs $\mathcal{R}\subset \mathbb{C}$. These scaling graphs are geometrically invariant and cutoff-independent so that the IR limit $L o \infty $ can be formally taken. Moreover, an increasing $L$ can be associated with an $\mathcal{R}-$constrained spectral UV$ o$IR renormalization group flow on $\mathcal{R}$. The existence of a scale-invariant $\mathcal{PT}$ symmetry breaking region on each of these graphs allows to conclude that the unbounded eigenvalue sequence of the $ix^3$ Hamiltonian over $x\in\mathbb{R}$ can be considered as tending toward a mapped version of such a $\mathcal{PT}$ symmetry breaking region at spectral infinity. This provides a simple heuristic explanation for the specific eigenfunction properties described in the literature so far and clear complementary evidence that the $\mathcal{PT}-$symmetric $V=-(ix)^{2n+1}$ models over the real line $x\in\mathbb{R}$ are not equivalent to Hermitian models, but that they rather form a separate model class with purely real spectra. Our findings allow us to hypothesize a possible physical interpretation of the non-Rieszian mode behavior as a related mode condensation process.

研究动机与目标

• 研究当通过在 $[-L,L]$ 上的有限域截断去除红外发散时，$\mathcal{PT}$-对称 $ix^3$ 模型的谱行为。
• 分析 $V = -(ix)^{2n+1}$ 模型在 $[-L,L]$ 上的渐近谱标度行为，识别几何不变的谱标度图 $\mathcal{R} \subset \mathbb{C}$。
• 探讨 $L \to \infty$ 的形式极限及其对完整 $x \in \mathbb{R}$ 模型结构的影响，特别是关于 $\mathcal{PT}$ 对称性破缺的问题。
• 通过将非 Riesz 型本征函数性质映射到谱无穷远处的标度不变 $\mathcal{PT}$-对称性破缺区域，为 $ix^3$ 模型中观察到的非 Riesz 型行为提供启发式解释。

提出的方法

• 在有限区间 $x \in [-L, L]$ 上将模型表述为 Sturm-Liouville 问题，以替代无界的实直线。
• 应用具有统一零阶处理的 WKB 近似（使用 Airy 函数）推导波函数解和本征值约束条件。
• 利用 Stokes 图分析定位复谱分支并确定本征值的实性条件。
• 将本征值 $E_j(L)$ 标度为 $\mathcal{E}_j = E_j / (g L^{2n+1})$，以构建与 $L$ 无关的渐近谱标度图 $\mathcal{R} = \mathcal{R}_{CO} \cup \mathbb{R}_+$。
• 分析随着 $L$ 增大，映射本征值 $\mathcal{E}_j$ 在 $\mathcal{R}$ 上的流动，揭示从 $\mathcal{R}_{BT}$ 到 $\mathcal{R}_{BS}$ 和 $\mathcal{R}_{CO}$ 的重整化群类流动。
• 沿反 Stokes 线段 $\mathcal{Y}$ 求解实性约束，以获得谱标度图的复部 $\mathcal{R}_{CO}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当通过在有限区间 $[-L,L]$ 上的截断去除红外发散时，$\mathcal{PT}$-对称 $ix^3$ 模型的本征值行为如何？
• RQ2 $V = -(ix)^{2n+1}$ 模型在 $[-L,L]$ 上的渐近谱标度图 $\mathcal{R}$ 的结构是什么？它是否与截断 $L$ 无关？
• RQ3 是否可以形式地取 $L \to \infty$ 极限？这对完整 $x \in \mathbb{R}$ 模型的谱意味着什么？
• RQ4 $ix^3$ 模型中本征函数的非 Riesz 型行为如何与谱标度图的几何结构及 $\mathcal{PT}$ 对称性破缺相关联？
• RQ5 映射本征值在 $\mathcal{R}$ 上的流动是否暗示了非 Riesz 型模式行为可被解释为一种凝聚过程？

主要发现

• 渐近谱标度图 $\mathcal{R} = \mathcal{R}_{CO} \cup \mathbb{R}_+$ 在几何上是不变的且与截断 $L$ 无关，从而允许形式上取 $L \to \infty$ 极限。
• 随着 $L$ 增大，映射本征值 $\mathcal{E}_j = E_j / (g L^{2n+1})$ 在 $\mathcal{R}$ 上流动，实本征值从 $\mathcal{R}_{BT}$ 流向 $\mathcal{R}_{BS}$，复本征值流向 $\mathcal{R}_{CO}$。
• 当 $L$ 较大时，复本征值 $\mathcal{E}_j \in \mathcal{R}_{CO}$ 与端点 $\mathcal{E} = \pm i$ 之间的距离 $\tau(\mathcal{E}_j)$ 按 $\tau(\mathcal{E}_j) = \frac{1}{4}(4j - 1)\pi \hbar / \sqrt{g L^{2n+3}}$ 缩放，随 $L$ 增大而减小。
• $\mathcal{R}$ 上的 $\mathcal{PT}$-对称性破缺区域具有标度不变性，表明完整 $x \in \mathbb{R}$ 模型的本征值序列在谱无穷远处趋向于该区域。
• 对于 $n = 2$ 到 $5$，射击法结果与零阶 WKB 近似之间的一致性验证了在相变区域之外，反 Stokes 线方法的有效性。
• 结果支持如下假设：$\mathcal{PT}$-对称 $-(ix)^{2n+1}$ 模型与厄米模型不等价，其纯实谱由一种独特的非厄米机制产生。