[论文解读] Irrational Guards are Sometimes Needed

Mikkel Abrahamsen, Anna Adamaszek+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2017

Guidance and Control Systems参考文献 7被引用 7

一句话总结

该论文通过证明在顶点坐标为整数的简单多边形中，最优的博物馆守卫位置有时必须使用无理坐标，从而解决了长期存在的开放性问题。论文构建了单调多边形和正交多边形，其中最优守卫集合需要无理坐标，展示了有理坐标与无理坐标守卫数量之间存在4/3的比率，从而表明在点守卫博物馆问题中，仅使用有理坐标解可能严格次优。

ABSTRACT

In this paper we study the art gallery problem, which is one of the fundamental problems in computational geometry. The objective is to place a minimum number of guards inside a simple polygon such that the guards together can see the whole polygon. We say that a guard at position $x$ sees a point $y$ if the line segment $xy$ is fully contained in the polygon. Despite an extensive study of the art gallery problem, it remained an open question whether there are polygons given by integer coordinates that require guard positions with irrational coordinates in any optimal solution. We give a positive answer to this question by constructing a monotone polygon with integer coordinates that can be guarded by three guards only when we allow to place the guards at points with irrational coordinates. Otherwise, four guards are needed. By extending this example, we show that for every $n$, there is polygon which can be guarded by $3n$ guards with irrational coordinates but need $4n$ guards if the coordinates have to be rational. Subsequently, we show that there are rectilinear polygons given by integer coordinates that require guards with irrational coordinates in any optimal solution.

研究动机与目标

• 解决一个长期开放的问题：具有整数坐标多边形是否可能在最优解中需要无理坐标守卫位置。
• 证明有理坐标守卫配置可能严格次优，并量化有理坐标与无理坐标最优解之间的差距。
• 将结果扩展到一族多边形，展示有理坐标与无理坐标最优解之间守卫数量保持一致的4/3比率。
• 研究无理坐标在计算几何问题中的作用，特别是在NP完全性与实数存在理论（∃R）的背景下。

提出的方法

• 构造一个顶点坐标为整数的单调简单多边形，该多边形仅当守卫位置为无理数时才能被三个守卫最优覆盖。
• 利用几何约束和可见性特性，强制要求仅使用有理坐标守卫时，至少需要四个守卫才能覆盖该多边形。
• 将基础构造扩展为一族多边形（P_n），其中无理坐标守卫的最优数量为3n，而有理坐标守卫则需要4n个。
• 应用代数技术，证明最小守卫位置位于整系数二次多项式的根上，从而表明最优位置具有无理性。
• 证明不存在大小为9的有理坐标守卫集合可以覆盖一个需要10个守卫的多边形，原因是在关键区域存在不可避免的可见性间隙，且至少需要三个外部守卫。
• 借助已知的复杂度结果和实数存在理论，阐明无理坐标在几何优化问题中的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在顶点坐标为整数的简单多边形，其最优守卫集合无法仅通过有理坐标位置实现？
• RQ2 最优有理坐标守卫集合大小与最优无理坐标守卫集合大小之间的比值是否可以远离1？
• RQ3 能否构造一个多边形，使得仅当守卫位于无理坐标时，两个守卫才足以覆盖？
• RQ4 是否存在需要无理坐标守卫位置且其无理度高于2的多边形？
• RQ5 博物馆问题的复杂性与实数存在理论（∃R）之间存在何种关系，尤其是在无理守卫位置的背景下？

主要发现

• 存在一个顶点坐标为整数的单调简单多边形，其最优覆盖需要三个无理坐标守卫，但若仅允许有理坐标位置，则需四个守卫。
• 对每个正整数n，存在一族多边形（P_n），使得3n个无理坐标守卫足够，但4n个有理坐标守卫才可实现最优覆盖。
• 在所构造的多边形族中，最优有理坐标守卫数量与最优无理坐标守卫数量之比恰好为4/3。
• 构造中无理守卫位置是整系数二次多项式的根，表明其为二阶无理数。
• 证明表明，由于关键区域存在不可避免的可见性间隙，不存在大小为9的有理坐标守卫集合可以覆盖一个需要10个守卫的多边形。
• 结果表明，除非最优解总能以多项式有界描述的有理坐标表示，否则博物馆问题可能不属于NP类。