[论文解读] Irrational Numbers Associated to Sequences Without Geometric Progressions

Melvyn B. Nathanson, Kevin O’Bryant|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用 3

一句话总结

该论文证明了：在 {1, 2, ..., n} 中，不含长度为 k、公比为 s 的幂的几何级数的极大子集的自然密度收敛于一个无理数。该极限以涉及函数 r_k(ℓ) 的逆像的无穷级数形式表达，其中 r_k(ℓ) 表示 {0, 1, ..., ℓ−1} 中不含 k 项等差数列的极大子集的大小。无理性的来源在于该极限在 s 进制展开中 1 的位置出现无界间隔，此结论通过等差数列的 Szemerédi 定理得以证明。

ABSTRACT

Let s and k be integers with s \geq 2 and k \geq 2. Let g_k^{(s)}(n) denote the cardinality of the largest subset of the set {1,2,..., n} that contains no geometric progression of length k whose common ratio is a power of s. Let r_k(\ell) denote the cardinality of the largest subset of the set {0,1,2,\ldots, \ell -1\} that contains no arithmetric progression of length k. The limit \[ \lim_{n ightarrow \infty} \frac{g_k^{(s)}(n)}{n} = (s-1) \sum_{m=1}^{\infty} \left(\frac{1}{s} ight)^{\min \left(r_k^{-1}(m) ight)} \] exists and converges to an irrational number.

研究动机与目标

• 确定 {1, 2, ..., n} 中不含长度为 k、公比为 s 的幂的几何级数的极大子集的渐近密度。
• 通过 s 进制赋值分解整数，并将无几何级数集合与指数中的无等差数列集合联系起来，分析此类极值集合的结构。
• 通过证明其 s 进制展开中 1 的位置出现无界间隔，证明极限密度为无理数。
• 通过将几何级数无序性与指数序列中的等差数列无序性联系起来，拓展已知的无序集结果。

提出的方法

• 定义 g_k^(s)(n) 为 {1, 2, ..., n} 中不含 k 项几何级数（其公比为 s 的幂）的极大子集的大小。
• 将 {1, 2, ..., n} 划分为不相交集合 T(b) = {b s^i : i ≥ 0}，其中 b 不被 s 整除，每个集合对应一个固定的“基”b。
• 对每个 b，T(b) ∩ {1, ..., n} 中的元素个数为 1 + [log_s(n/b)]，而 T(b) 中不含 k 项几何级数的极大子集的大小为 r_k(1 + [log_s(n/b)])，其中 r_k(ℓ) 表示 {0, 1, ..., ℓ−1} 中不含 k 项等差数列的极大子集的大小。
• 将 g_k^(s)(n) 表示为 b ∈ B_n 的求和：r_k(1 + [log_s(n/b)]), 并利用 r_k(ℓ) 的分布及具有给定 log_s(n/b) 的 b 的数量来估计该和。
• 使用逆像 r_k^{-1}(m) 按 r_k(ℓ) 的值对项进行分组，得到对 m 的求和：m 乘以 ∑_{ℓ ∈ r_k^{-1}(m)} s^{-ℓ}。
• 应用分部求和与渐近分析，证明 g_k^(s)(n)/n 收敛于 (s−1) ∑_{m=1}^∞ (1/s)^{min(r_k^{-1}(m))}，并证明该极限为无理数，因其 s 进制展开中 1 的位置出现无界间隔。

实验结果

研究问题

• RQ1 极限 lim_{n→∞} g_k^(s)(n)/n 是否存在？若存在，能否表示为无穷级数？
• RQ2 对于所有整数 s ≥ 2 和 k ≥ 2，极限 lim_{n→∞} g_k^(s)(n)/n 是否为无理数？
• RQ3 能否不依赖于等差数列的 Szemerédi 定理，证明该极限的无理性？
• RQ4 函数 g_k^(s)(n) 是否关于 s 非减？对于 s' > s 且足够大的 n，是否满足 g_k^(s')(n) < g_k^(s)(n)？
• RQ5 当 S 是满足 s ≥ 2 的有限基集合时，g_k^(S)(n)/n 的极限能否表示为无穷级数？

主要发现

• 极限 lim_{n→∞} g_k^(s)(n)/n 存在，且等于 (s−1) ∑_{m=1}^∞ (1/s)^{min(r_k^{-1}(m))}，其中 r_k(ℓ) 表示 {0, 1, ..., ℓ−1} 中不含 k 项等差数列的极大子集的大小。
• 该无穷级数收敛于 (0,1) 内的实数，其 s 进制展开仅包含数字 0 和 1。
• 该数为无理数，因为其 s 进制展开中 1 的位置具有无界间隔，此结论源于引理 1 与 Szemerédi 定理。
• 无理性通过反证法证明：若该数为有理数，则其 s 进制展开将为最终周期性，但 1 的位置出现无界间隔，与之矛盾。
• 该极限严格小于 (s−1)/s，且由于 (1/s)^{min(r_k^{-1}(m))} 的指数衰减，该级数绝对收敛。
• 该结果对所有整数 s ≥ 2 和 k ≥ 2 成立，且该构造可推广至有限个基 s 的集合。