[论文解读] Irrationality Measures, Irrationality Bases, and a Theorem of Jarnik

Jonathan Sondow|ArXiv.org|Jun 15, 2004

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用 13

一句话总结

本文建立了无理数无理度量和底数的理论，引入了使用连分数和斐波那契数列的公式。证明了一种构造性方法，可生成具有预定无理度量底数的级数，并应用Jarnik定理生成具有指定无理度量的数，提供了明确的例子和界限。

ABSTRACT

In math.NT/0307308 we defined the irrationality base of an irrational number and, assuming a stronger hypothesis than the irrationality of Euler's constant, gave a conditional upper bound on its irrationality base. Here we develop the general theory of the irrationality exponent and base, giving formulas and bounds for them using continued fractions and the Fibonacci sequence. A theorem of Jarnik on Diophantine approximation yields numbers with prescribed irrationality measure. By another method we explicitly construct series with prescribed irrationality base. Many examples are given.

研究动机与目标

• 建立无理数无理度量和底数的全面理论。
• 利用连分数和斐波那契数列推导无理度量的显式公式与界限。
• 通过一种新方法构造具有预定无理度量底数的显式级数。
• 应用Jarnik的丢番图逼近定理生成具有给定无理度量的数。
• 提供无理度量和底数的具体例子及定量界限。

提出的方法

• 使用连分数展开来分析和计算无理度量与底数。
• 应用斐波那契数列的性质，推导无理度量的界限。
• 运用Jarnik的丢番图逼近定理，构造具有指定无理度量的数。
• 提出一种构造性方法，生成其无理度量底数恰好为预定值的无穷级数。
• 结合分析技术与数论工具，推导无理度量的显式公式。
• 利用有理逼近中分母增长速率与逼近质量之间的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用连分数系统地计算无理度量和底数？
• RQ2 斐波那契数列在限制无理度量中的作用是什么？
• RQ3 能否构造出其无理度量底数恰好为给定值的显式级数？
• RQ4 Jarnik定理如何促进具有预定无理度量的数的构造？
• RQ5 使用这些方法时，无理度量和底数的最紧致已知界限是什么？

主要发现

• 本文提供了利用连分数渐近分数计算无理度量的显式公式。
• 证明了斐波那契数列在限制无理度量时可实现最优增长速率。
• 提出了一种构造性方法，可生成任意预定无理度量底数的级数。
• 应用Jarnik定理证明了任意给定无理度量（≥2）的数的存在性。
• 给出了数值例子以说明理论，包括在条件假设下对欧拉常数无理度量底数的界限。
• 表明在某些逼近情境下，无理度量底数是比无理度量更精细的不变量。