[论文解读] Irreducibility of a holomorphic eta quotient is determinable

Soumya Bhattacharya|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文通过提供一种算法，计算任何真因子的最小水平的上界，从而实现不可约性的有限验证，确立了全纯模形式的 eta 乘积的不可约性是可判定的。其主要贡献是提供了一种构造性准则，用以判断全纯模形式的 eta 乘积是否不可约，或可分解为更简单的组成部分。

ABSTRACT

We show that a holomorphic eta quotient has only finitely many factors. We also provide an algorithm for checking irreducibility of holomorphic eta quotients by constructing an upper bound for the minimum of the levels of the proper factors of a reducible holomorphic eta quotient.

研究动机与目标

• 解决确定全纯模形式的 eta 乘积是否不可约或可约的开放性问题。
• 确立全纯模形式的 eta 乘积仅有有限多个可能的因子，从而确保不可约性的可判定性。
• 开发一种算法方法，通过计算任何真因子的最小水平的上界，来检查不可约性。
• 基于潜在因子的水平约束，提供一种不可约性的构造性准则。

提出的方法

• 该方法构建了可约全纯模形式的 eta 乘积的任何真因子的最小水平的上界。
• 其依赖于戴德金 eta 函数的性质以及模形式中全纯模形式的 eta 乘积的结构。
• 该算法使用基于水平的约束，以限制可能的因子分解的搜索空间。
• 它应用模形式水平的数论界，以限制候选因子。
• 该方法通过限制潜在因子的水平，将不可约性问题转化为有限计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 全纯模形式的 eta 乘积的不可约性是否可以被算法确定？
• RQ2 可约全纯模形式的 eta 乘积的真因子的最小水平的最大可能值是多少？
• RQ3 任何给定的全纯模形式的 eta 乘积是否仅有有限多个可能的因子？
• RQ4 能否计算出因子水平的有限上界，以实现不可约性的可判定性？

主要发现

• 任何全纯模形式的 eta 乘积的不可约性均可通过算法过程判定。
• 每个全纯模形式的 eta 乘积仅有有限多个可能的因子，从而确保问题的有限性。
• 对于任何可约全纯模形式的 eta 乘积，均可计算出其任何真因子的最小水平的有效上界。
• 该算法通过将搜索限制在水平有界的因子上，实现了不可约性的有限验证。