[论文解读] Irreducible affine isometric actions on Hilbert spaces

Bachir Bekka, Thibault Pillon+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 2

一句话总结

本文引入了舒尔引理的仿射版本，以系统研究局部紧群在希尔伯特空间上的不可约仿射等距作用。研究结果表明，不可约性由余归一化函数的总像与某些条件负型函数的无界性所刻画。一个关键结果是超刚性定理：若局部紧群乘积中的共(compact)格的线性部分不弱包含平凡表示，则其不可约仿射作用可延拓至整个群。

ABSTRACT

We undertake a systematic study of irreducible affine isometric actions of locally compact groups on Hilbert spaces. It turns out that, while that are a few parallels of this study to the by now classical theory of irreducible unitary representations, these two theories differ in several aspects (for instance, the direct sum of two irreducible affine actions can still be irreducible). One of the main tools we use is an affine version of Schur's lemma characterizing the irreducibility of an affine isometric group action. This enables us to describe for instance the irreducible affine isometric actions of nilpotent groups. As another application, a short proof is provided for the following result of Neretin: the restriction to a cocompact lattice of an irreducible affine action of locally compact group remains irreducible. We give a necessary and sufficient condition for a fixed unitary representation to be the linear part of an irreducible affine action. In particular, when the unitary representation is a multiple of the regular representation of a discrete group G, we show how this question is related to the L2-Betti number of G. After giving a necessary and sufficient condition for a direct sum of irreducible affine actions to be irreducible, we show the following super-rigidity result: if G is product of two or more locally compact groups, then every irreducible affine action of any irreducible co-compact lattice in G extends to an affine action of G, provided the linear part of this action does not weakly contain the trivial representation.

研究动机与目标

• 发展希尔伯特空间上不可约仿射等距作用的系统理论，其与酉表示理论类似但有本质区别。
• 通过仿射舒尔引理的版本刻画不可约性，重点在于交换子代数与不动点性质。
• 确定给定酉表示何时可作为不可约仿射作用的线性部分实现。
• 证明共(compact)格在局部紧群乘积中的不可约仿射作用的超刚性。
• 将不可约仿射作用的存在性与L²贝蒂数联系起来，特别是离散ICC群的β₁⁽²⁾(Γ)。

提出的方法

• 引入仿射舒尔引理：一个仿射作用不可约当且仅当其交换子代数仅由平移构成。
• 利用余归一化条件与总像刻画：不可约性成立当且仅当对每个v，映射g ↦ b(g) + π(g)v − v在H中具有稠密像。
• 分析连续仿射映射单群中交换子代数α(G)′的结构，证明其仅由平移构成当且仅当α不可约。
• 将理论应用于幂零群与阿贝尔群，表明不可约作用源于具有稠密像的同态。
• 使用上同调工具：若H¹(G, π) ≠ 0，则存在非上边缘余归一化，从而可构造不可约作用。
• 通过谱条件证明延拓结果：若线性部分不弱包含平凡表示，则不可约作用可从格延拓至全群。

实验结果

研究问题

• RQ1 不可约仿射等距作用在希尔伯特空间上的精确刻画是什么？它与酉不可约性的区别何在？
• RQ2 在何种条件下，给定的酉表示π可实现为不可约仿射作用的线性部分？
• RQ3 何时一个共(compact)格的不可约仿射作用可延拓至其所在群？
• RQ4 第一L²贝蒂数β₁⁽²⁾(Γ)与线性部分为正则表示倍数的不可约仿射作用的存在性有何关联？
• RQ5 在无限维空间中，轨道包络条件的逆命题是否成立？存在哪些反例？

主要发现

• 一个仿射作用不可约当且仅当对每个v ∈ H，余归一化映射g ↦ b(g) + π(g)v − v在H中具有稠密像。
• 幂零群与阿贝尔群的不可约仿射作用由同态b : G → H（其像在H中稠密）刻画。
• 不可约仿射作用在共(compact)格上的限制仍保持不可约，此结论由仿射舒尔引理证明。
• 对离散ICC群Γ，第一L²贝蒂数β₁⁽²⁾(Γ)等于满足L(Γ)-模维数为t的上确界t ≥ 0，使得该模可作为某个不可约仿射作用的线性部分实现。
• 若G是两个或更多局部紧群的乘积，Γ ≤ G是共(compact)不可约格，则任何Γ的不可约仿射作用可延拓至G，只要其线性部分不弱包含平凡表示。
• 存在在Rⁿ上的不可约仿射作用，其轨道在无限维中不包络，但在有限维中，轨道包络条件的逆命题成立：不可约性蕴含包络轨道。