[论文解读] Irreducible cone spherical metrics and stable extensions of two line bundles

Lingguang Li, Jijian Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 46被引用 10

一句话总结

本文建立了在亏格 $ g_X \geq 1 $ 的紧黎曼曲面上，两个线丛的稳定扩张与具有在 $ 2\pi\mathbb{Z}_{>1} $ 中的锥角的不可约锥球度量之间的典范满射对应关系。利用原始丛和赫尔米特-爱因斯坦度量，证明了当 $ g_X \geq 2 $ 时，由此类度量表示的偶数次有效除子空间构成一个弧连通的博雷尔集，其豪斯多夫维数至少为 $ 2(d + 3 - 3g_X) $，而对于奇数次 $ d > 2g_X - 2 $，几乎所有此类除子均对应有限多个不可约度量。

ABSTRACT

A cone spherical metric is called irreducible if any developing map of the metric does not have monodromy in ${ m U(1)}$. By using the theory of indigenous bundles, we construct on a compact Riemann surface $X$ of genus $g_X \geq 1$ a canonical surjective map from the moduli space of stable extensions of two line bundles to that of irreducible metrics with cone angles in $2 \pi \mathbb{Z}_{>1}$, which is generically injective in the algebro-geometric sense as $g_X \geq 2$. As an application, we prove the following two results about irreducible metrics: $\bullet$ as $g_X \geq 2$ and $d$ is even and greater than $12g_X - 7$, the effective divisors of degree $d$ which could be represented by irreducible metrics form an arcwise connected Borel subset of Hausdorff dimension $\geq 2(d+3-3g_X)$ in ${ m Sym}^d(X)$; $\bullet$ as $g_X \geq 1$, for almost every effective divisor $D$ of degree odd and greater than $2g_X-2$ on $X$, there exist finitely many cone spherical metrics representing $D$.

研究动机与目标

• 建立紧黎曼曲面（亏格 $ g_X \geq 1 $）上两个线丛的稳定扩张与不可约锥球度量之间的对应关系。
• 通过稳定扩张与分歧除子映射，刻画不可约锥球度量的模空间。
• 利用代数几何方法，解决表示偶数次与奇数次有效除子的不可约度量的存在性与唯一性问题。
• 证明由不可约度量表示的有效除子集合的维数与连通性结果，特别是针对偶数次与奇数次除子。
• 统一处理偶数次与奇数次除子的锥球度量，克服了以往基于PDE的方法在偶数次情形因爆破现象而失效的局限性。

提出的方法

• 利用原始丛理论，构造从两个线丛的稳定扩张模空间到具有在 $ 2\pi\mathbb{Z}_{>1} $ 中的锥角的不可约锥球度量模空间的典范满射映射。
• 定义分歧除子映射 $ R(L_1, L_2) $，即从稳定扩张空间到线丛 $ |L_1^{-1} \otimes L_2 \otimes K_X| $ 的完全线性系统的一个实解析映射，将每个扩张映射为对应度量的除子。
• 利用秩为二向量丛 $ E $ 上的赫尔米特-爱因斯坦度量，刻画由对应不可约度量表示的有效除子。
• 运用向量丛的代数几何与上同调理论，证明当 $ g_X \geq 2 $ 时，分歧除子映射是通用单射的，并且对奇数次除子是满射的。
• 应用向量丛上的微分几何，建立分歧除子映射的性质，并证明其像包含所有可由不可约度量表示的有效除子。
• 利用稳定扩张模空间的结构及其在射影空间中的嵌入，分析分歧映射的像，推导出维数与连通性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧黎曼曲面（亏格 $ g_X \geq 1 $）上，线丛的稳定扩张与不可约锥球度量之间的确切对应关系是什么？
• RQ2 对于偶数次有效除子 $ d > 12g_X - 7 $，哪些除子存在不可约锥球度量？此类除子集合的拓扑结构如何？
• RQ3 对于奇数次有效除子 $ d > 2g_X - 2 $，一个给定除子对应多少个不可约锥球度量？该数量是否一致有界？
• RQ4 分歧除子映射 $ R(L_1, L_2) $ 能否刻画所有可由不可约度量表示的有效除子？其像的几何性质是什么？
• RQ5 当稳定扩张退化为不稳定扩张时，分歧除子映射的极限行为如何？这是否会导致可约度量的出现？

主要发现

• 当 $ g_X \geq 2 $ 时，可由不可约锥球度量表示的偶数次有效除子集合 $ d > 12g_X - 7 $ 在 $ \operatorname{Sym}^d(X) $ 中构成一个弧连通的博雷尔子集，其豪斯多夫维数至少为 $ 2(d + 3 - 3g_X) $。
• 当 $ g_X \geq 1 $ 时，对几乎所有奇数次有效除子 $ d > 2g_X - 2 $，存在有限多个锥球度量表示 $ D $，且此类度量的数量在 $ d $ 与 $ g_X $ 的范围内一致有界。
• 当 $ \deg L_2 - \deg L_1 $ 为正奇数时，分歧除子映射 $ R(L_1, L_2) $ 满射于完全线性系统 $ |L_1^{-1} \otimes L_2 \otimes K_X| $，且其像恰好包含所有可由不可约度量表示的有效除子。
• 当 $ g_X \geq 2 $ 时，稳定扩张与不可约度量之间的对应关系是通用单射的，每个度量最多有 $ 2^{2g_X} $ 个原像。
• 分歧除子映射是从射影空间 $ \mathbb{P}(H^1(X, L_1 \otimes L_2^{-1})^s) $ 的扎里斯基开子集到完全线性系统 $ |L_1^{-1} \otimes L_2 \otimes K_X| $ 的实解析映射，其像恰好是所有可由不可约度量表示的有效除子的集合。
• 通过代数几何方法，建立了偶数次除子的不可约度量的存在性，克服了在此情形下PDE方法因爆破现象而失效的缺陷。