[论文解读] Irreducible factors of Weil representations and TQFT

Julien Korinman|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文在偶数阶下对 $Sp_{2g}(ℤ)$ 的 Weil 表示进行了完整的不可约因子分解，推广了此前在奇数阶下的结果。它证明了在 $SU(2)$ 和 $SO(3)$ TQFT 中，阶为 $p$ 的量子表示可分解为由素数幂索引的不可约模，且当 $p$ 不被 4 整除时，不使用带框链的通用 TQFT 构造所得到的理论与标准理论相同。

ABSTRACT

We give the decomposition into irreducible factors of Weil representations of the symplectic groups at even levels, generalizing previous decompositions at odd levels. We then derive the decomposition of the quantum representations of SL2(Z) arising in the SU(2) and SO(3) TQFTs. As application we show that, when the level indexing the TQFT is not a multiple of 4, the universal construction applied to a cobordism category without framed links leads to the same TQFT.

研究动机与目标

• 将 Weil 表示的分解从奇数阶推广至偶数阶。
• 通过 Weil 表示的分解推导出 $SU(2)$ 和 $SO(3)$ TQFT 中 $SL_2(\mathbb{Z})$ 量子表示的结构。
• 证明当阶 $p$ 不被 4 整除时，不使用带框链的通用 TQFT 构造可恢复标准 TQFT。
• 建立 Weil 表示的奇数子模与 Witten-Reshetikhin-Turaev 表示之间的精确同构。

提出的方法

• 采用基于无带框链的 cobordism 范畴的通用 TQFT 构造的拓扑与代数方法。
• 应用环同构 $\mu: \mathbf{k}_{ab} \to \mathbf{k}_a \otimes \mathbf{k}_b$，将 cyclotomic 环上 Weil 模的张量积分解。
• 使用递归分解规则将 $U_{r^{n+2}}^\otimes g$ 分解为 $U_{r^n}^\otimes g \oplus W_{r^{n+2}}^\otimes g$，并进一步划分为偶数与奇数子模。
• 通过在 $U_p^\otimes g$ 和 $W_{r^n}^\otimes g$ 中显式构造基与内积计算，分析不可约性及在 $SL_2(\mathbb{Z})$ 下的不变性。
• 依赖于识别 $V_p \cong U_p^-$，将 TQFT 向量空间结构转化为 Weil 表示的分量。
• 对 3-流形中带框链分量的数量进行归纳，证明当 $4 \nmid p$ 时，任意 TQFT 向量均可不依赖带框链表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 Weil 表示在偶数阶下如何分解，以推广已知的奇数阶结果？
• RQ2 $SU(2)$ 和 $SO(3)$ TQFT 中 $SL_2(\mathbb{Z})$ 的量子表示在偶数阶下的结构是什么？
• RQ3 在何种条件下，不使用带框链的通用 TQFT 构造可产生与标准构造相同的理论？
• RQ4 Weil 表示的奇数子模 $U_p^-$ 与 Witten-Reshetikhin-Turaev 表示之间有何关系？
• RQ5 在何种阶 $p$ 条件下，$SL_2(\mathbb{Z})$-不变子空间 $X_p$ 对模群作用封闭？

主要发现

• 当 $p$ 为奇数时，$p$ 阶的 Weil 表示分解为 $\sigma(p)$ 个不可约因子；当 $p$ 为偶数时，分解为 $\sigma(p/2)$ 个不可约因子。
• 对互素的 $a,b \geq 2$，有同构 $U_a^\otimes g \otimes U_b^\otimes g \cong U_{ab}^\otimes g$ 作为 $Sp_{2g}(\mathbb{Z})$-模。
• 对素数幂，有 $U_{r^{n+2}}^\otimes g \cong U_{r^n}^\otimes g \oplus W_{r^{n+2}}^\otimes g$，其中 $W_{r^{n+2}}$ 为自由子模。
• 不可约因子的形式为 $B_{r_1} \otimes \cdots \otimes B_{r_k}$，其中 $B_{r_i} \in \{U_{r_i}^{g,\pm}, W_{r_i^n}^{g,\pm}\}$，所有因子两两不互同构且不可约。
• $SU(2)$ 和 $SO(3)$ 在阶 $p$ 下的量子表示可分解为上述不可约模的直和，且奇数子模 $U_p^-$ 同构于 Witten-Reshetikhin-Turaev 表示 $V_p$。
• 当 $4 \nmid p$ 时，不使用带框链的通用 TQFT 构造所产生的不变量与标准构造相同，原因在于 $SL_2(\mathbb{Z})$-模 $V_p$ 中有 $\Lambda_0 = \Lambda_1$。