[论文解读] Irreducible lattices fibring over the circle

Sam Hughes|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2022

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 4

一句话总结

该论文通过基于Bestvina–Brady群和RAAG的构造，建立了在CAT(0)空间乘积中存在不可约的均匀格，这些格在圆周上具有几乎代数纤维化。证明了在$\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n) \times \mathrm{Aut}(\mathcal{T})$中的格，若具有虚拟代数纤维化，则必为可约；但通过BNSR不变量构造了显式的不可约例子，其核具有有限型。

ABSTRACT

We investigate the Bieri--Neumann--Strebel--Renz (BNSR) invariants of irreducible uniform lattices. In the case of a direct product of a tree and a Euclidean space we show that vanishing of the BNSR invariants for all finite-index subgroups of a given uniform lattice is equivalent to irreducibility. On the other hand we construct irreducible uniform lattices which admit maps to the integers whose kernels' finiteness properties are determined by the finiteness properties of certain Bestvina--Brady groups.

研究动机与目标

• 确定在CAT(0)空间乘积中的不可约格的虚拟代数纤维化是否意味着可约性。
• 构造显式不可约格的例子，其在圆周上具有有限型核的虚拟纤维化。
• 将BNSR不变量理论扩展至极小无界的CAT(0)空间的等距群乘积中的格。
• 阐明字符核的有限性性质与底层格结构之间的关系。

提出的方法

• 将格$\Gamma_L$构造为右角Artin群(RAAG)$A_L$在CAT(0)立方复形$\widetilde{X}_L$上的作用的商群。
• 通过由$A_L$上的字符$\phi \in H^1(A_L; \mathbb{R})$诱导的$\widetilde{X}_L$上的高度函数，定义$\Gamma_L$上的字符$\psi \in H^1(\Gamma_L; \mathbb{R})$。
• 使用Brown准则验证，当$\ker(\phi)$为$\mathsf{F}_\infty$型时，$\ker(\psi)$也为$\mathsf{F}_\infty$型（及$\mathsf{FP}_\infty$型）。
• 应用RAAG的BNSR不变量的已知结果，确定$\ker(\phi)$为有限型的条件，特别利用旗复形$L^*$上的邻域条件。
• 证明$\Gamma_L$为不可约且几乎无挠，确保存在有限指数的无挠子群并具有整系数字符。
• 建立在有限指数无挠子群上限制时，$\ker(\psi)$为$\mathsf{F}$型，从而实现虚拟纤维化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n) \times \mathrm{Aut}(\mathcal{T})$中的不可约均匀格，其虚拟代数纤维化是否意味着可约性？
• RQ2 CAT(0)空间乘积中的不可约格是否可具有有限型核的字符？
• RQ3 BNSR不变量在确定此类格上字符核的有限性性质中起什么作用？
• RQ4 RAAG上字符核的有限性性质如何传递到相关乘积群中的格上？
• RQ5 是否存在一种构造方法，可得到一个不可约格，使其在圆周上虚拟纤维化且核为有限表示？

主要发现

• 该论文构造了一个显式例子：在$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R}) \times \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Q}_2)$中存在一个不可约均匀格，其在圆周上具有虚拟代数纤维化。
• 对于$\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n) \times \mathrm{Aut}(\mathcal{T})$中的格，虚拟代数纤维化意味着可约性，从而为一般纤维化问题提供了逆向结论。
• 在构造的格$\Gamma_L$上，字符$\psi$的核为$\mathsf{F}_\infty$型；在通过有限指数无挠子群限制后，核为$\mathsf{F}$型。
• 通过定理5.5中的等价关系，$\ker(\psi)$的有限性性质由相关RAAG$A_L$的BNSR不变量决定。
• 该构造依赖于一个围长至少为4的旗复形$L$，其链接是可缩的且具有非平凡结构，从而保证$A_L$为不可约且$\ker(\phi)$为$\mathsf{F}$型。
• 此类格的存在性确认了不可约格可纤维化到圆周上，从而正面回答了核心问题。