[论文解读] Irreducible polynomials over finite fields produced by composition of quadratics

D. R. Heath‐Brown, Giacomo Micheli|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文研究有限域上动态不可约的二次多项式集合，其中所有函数复合仍保持不可约。通过非平方迭代构造了动态不可约性的判别准则，利用域扩张构建了大规模此类集合，并提出了一种时间复杂度为 $ O(r(/log q)^3 q^{1/2}) $ 的高效不可约性测试算法，证明了对无穷多个 $ q $ 有 $ M(q) \geq \frac{1}{2}("log q)^2 $。

ABSTRACT

For a set $S$ of quadratic polynomials over a finite field, let $C$ be the (infinite) set of arbitrary compositions of elements in $S$. In this paper we show that there are examples with arbitrarily large $S$ such that every polynomial in $C$ is irreducible. As a second result, we give an algorithm to determine whether all the elements in $C$ are irreducible, using only $O( \#S (\log q)^3 q^{1/2} )$ operations.

研究动机与目标

• 刻画并构造有限域上满足所有函数复合均不可约的二次多项式的大规模集合。
• 将 Boston-Jones 的动态不可约性判别准则推广至多項式及非首一情形。
• 分析此类复合生成的迭代集合的大小与结构。
• 开发一种高效算法，用于测试给定二次多项式集合的动态不可约性。
• 建立 $ M(q) $ 的下界，其中 $ M(q) $ 表示 $ \mathbb{F}_q $ 上首一二次多项式动态不可约集合的最大大小。

提出的方法

• 采用广义判别准则：一组首一二次多项式动态不可约当且仅当所有迭代 $ (f_{i_1} \circ \cdots \circ f_{i_n})(c_j) $ 在 $ \mathbb{F}_q $ 中均为非平方数。
• 通过将多项式从 $ \mathbb{F}_p $ 提升至扩张域 $ \mathbb{F}_{p^p} $，利用 $ X^p - X - h $ 的根，构造大规模动态不可约集合。
• 应用红-黑树高效存储与查询迭代集合，实现对数时间复杂度的插入与成员查询。
• 采用广度优先遍历迭代过程，若遇到平方数或不再生成新值则提前终止。
• 利用迭代集合大小的上界（最多 $ 4(\log q)^2 \sqrt{q} $）以确保终止性与复杂度界限。
• 通过域运算与 $ x^{(q-1)/2} \equiv 1 \pmod{q} $ 的平方测试，高效判断非平方状态。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限域上，何种条件可确保一组二次多项式在所有函数复合下仍保持不可约？
• RQ2 能否在有限域上显式构造大规模的动态不可约二次多项式集合？
• RQ3 迭代集合 $ (f_{i_1} \circ \cdots \circ f_{i_n})(c_j) $ 的大小如何增长，其上界可如何界定？
• RQ4 是否存在一种高效算法，用于测试给定多项式集合是否具有动态不可约性？
• RQ5 关于 $ M(q) $，即 $ \mathbb{F}_q $ 上此类集合的最大大小，其渐近增长行为如何？

主要发现

• 有限域 $ \mathbb{F}_q $ 上的一组首一二次多项式动态不可约，当且仅当所有迭代 $ (f_{i_1} \circ \cdots \circ f_{i_n})(c_j) $ 在 $ \mathbb{F}_q $ 中均为非平方数。
• 当 $ p \equiv 1 \pmod{4} $ 时，构造 $ f_{b,c}(X) = (X - b - \xi)^2 + c + \xi $ 在 $ \mathbb{F}_{p^p} $ 上，若 $ h $ 是 $ \mathbb{F}_p $ 中的非平方数，则可得到大小为 $ p^2 $ 的动态不可约集合。
• 所有此类迭代集合的大小被限制在 $ 4(\log q)^2 \sqrt{q} $ 以内，且该界与多项式数量 $ r $ 无关。
• 最大大小 $ M(q) $ 满足 $ M(q) \geq \frac{1}{2}(\log q)^2 $，对无穷多个 $ q $ 成立，且显式构造可实现 $ M(p^p) \geq p^2 $。
• 用于测试动态不可约性的算法时间复杂度为 $ O(r(\log q)^3 q^{1/2}) $ 次域运算，空间复杂度为 $ O((\log q)^2 \sqrt{q}) $。
• 该算法最多运行 $ 4(\log q)^2 \sqrt{q} $ 次迭代，确保正确性与高效性。