[论文解读] Irreducible polynomials with prescribed trace and restricted norm

Keijo Kononen, Marko Moisio+2 more|ArXiv.org|Oct 15, 2007

Polynomial and algebraic computation被引用 8

一句话总结

本文为有限域 $\mathbb{F}_q$ 上次数为 $m$ 的首一不可约多项式在 $\langle g^s \rangle$ 的陪集中具有指定迹和范数的个数提供了显式公式。利用指数和与雅克比和，作者在 $q = p$ 时对 $s = 2, 3, 4$ 推导出闭式表达式，并在 $r = 2en$ 且 $s \mid (p^e + 1)$ 时也给出闭式表达式；对 $p = 2$，$m \leq 30$ 的情形，给出了迹和范数均固定的完整公式。

ABSTRACT

Let GF(q), q=p^r, be a finite field with a primitive element g. In this paper we use exponential sums and Jacobi sums to compute the number of the irreducible polynomials of degree m over GF(q) with trace fixed and norm restricted to a coset of a subgroup , s|(q-1). We give the number explicitly for s=2, 3, 4 when q=p, and for s|(p^e+1) when r=2en. Finally, we give explicit formulae for the number when both trace and norm are fixed, p=2 and m =< 30.

研究动机与目标

• 将卡尔茨关于在平方群中具有固定迹和范数的不可约多项式的工作推广至 $\langle g^s \rangle$ 的任意陪集。
• 计算有限域 $\mathbb{F}_q$ 上次数为 $m$ 且迹和范数位于乘法子群指定陪集中的不可约多项式的个数。
• 在 $s = 2, 3, 4$ 以及在 $r = 2en$ 条件下 $s \mid (p^e + 1)$ 时，提供该计数的显式闭式表达式。
• 对 $p = 2$ 且 $m \leq 30$ 的情形，利用初等特征和技巧推导出迹和范数均固定的显式公式。

提出的方法

• 该方法使用标准加法特征和乘法特征，通过指数和表达迹和范数条件的解的个数。
• 通过在中间域 $\mathbb{F}_{q^t}$ 中解的个数进行莫比乌斯反演，推导出此类多项式的个数。
• 关键方程为 $P_m(a,s,h) = \frac{1}{m} \sum_{t \mid m} \mu(m/t) N_t$，其中 $N_t$ 表示在 $\mathbb{F}_{q^t}$ 中具有指定迹和范数的元素个数。
• 使用高斯和与雅克比和对和 $M_t$ 进行求值，特别针对 $s = 2, 3, 4$ 以及在 $r = 2en$ 时 $s \mid (p^e + 1)$ 的情形。
• 作者避免使用 L-函数和代数几何，转而依赖显式计算特征和及分圆陪集的性质。
• 对 $p = 2$ 且 $m \leq 30$ 的情形，公式通过已知的高斯和与雅克比和的计算结果推导得出，包括单位根的复数形式及高斯和的实部。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{F}_q$ 上，次数为 $m$ 且迹和范数位于 $\langle g^s \rangle$ 的给定陪集中的不可约多项式有多少？
• RQ2 当 $s = 2, 3, 4$ 且 $q = p$ 时，能否推导出该计数的显式公式？
• RQ3 当 $p = 2$ 且 $m \leq 30$ 时，迹和范数均固定的不可约多项式的个数是多少？
• RQ4 该计数如何随范数元素在乘法群中的指标变化，特别是当 $s \mid (p^e + 1)$ 且 $r = 2en$ 时？

主要发现

• 当 $s = 2$ 时，利用高斯和显式计算了在陪集 $g^h\langle g^2 \rangle$ 中具有固定迹和范数的不可约多项式的个数，推广了卡尔茨的结果。
• 当 $s = 3$ 时，公式涉及三次高斯和，取决于 $b$ 模 3 的指标，对 $3 \mid \operatorname{ind} b$ 和 $3 \nmid \operatorname{ind} b$ 两种情形给出不同表达式。
• 当 $s = 4$ 时，计数通过四次高斯和推导，取决于 $q \mod 4$ 的值，对 $q \equiv 1 \mod 4$ 和 $q \equiv 3 \mod 4$ 两种情形给出不同表达式。
• 当 $r = 2en$ 且 $s \mid (p^e + 1)$ 时，此类多项式的个数以高斯和及单位根的实部表示，特别涉及 $\omega_7$ 和 $\omega_{21}$。
• 当 $p = 2$ 且 $m \leq 30$ 时，本文给出了迹和范数均固定的不可约多项式个数的显式公式，包括 $q = 2, 4, 8$ 及 $m = 3, 4, \dots, 13$ 的情形，其结果与已知数据库一致。
• 对 $m = 21$ 的公式涉及包含 $\sqrt{q^5}$、单位根实部及 $\operatorname{ind} b$ 的分圆陪集的复杂表达式，对 $21 \mid \operatorname{ind} b$、$C_c^{21}$ 等情形分别给出不同情况。