[论文解读] Irreducible Representations of Bost-Connes systems

Takuya Takeishi|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文对任意数域的Bost-Connes $C^*$-代数提供了表示论的分类，表明不可约表示的维数恰好等于狭类数 $h_K^1$，从而将其确立为该 $C^*$-代数的新不变量。该方法推广了Laca与Raeburn对 $\mathbb{Q}$ 的工作，利用本原理想空间以及在范数群对偶上的动力系统，从算子代数结构中恢复出数论数据。

ABSTRACT

The classification problem of Bost-Connes systems was studied by Cornellissen and Marcolli partially, but still remains unsolved. In this paper, we will give a representation-theoretic approach to this problem. We generalize the result of Laca and Raeburn, which concerns with the primitive ideal space on the Bost-Connes system for $\mathbb{Q}$. As a consequence, the Bost-Connes $C^*$-algebra for a number field $K$ has $h_K^1$-dimensional irreducible representations and does not have finite-dimensional irreducible representations for the other dimensions, where $h_K^1$ is the narrow class number of $K$. In particular, the narrow class number is an invariant of Bost-Connes $C^*$-algebras.

研究动机与目标

• 对任意数域 $K$ 的Bost-Connes $C^*$-代数的不可约表示进行分类，扩展此前在 $\mathbb{Q}$ 上的结果。
• 确立狭类数 $h_K^1$ 作为Bost-Connes $C^*$-代数 $A_K$ 的不变量。
• 将 $\mathbb{Q}$ 情形下的本原理想空间描述推广至任意数域。
• 证明在范数群 $P_K^1$ 的对偶上的动力系统可恢复范数映射，从而恢复数论不变量。

提出的方法

• 通过利用Williams关于阿贝尔群作用的交叉积的本原理想空间的定理，推广Laca与Raeburn在 $A_\mathbb{Q}$ 上的结果。
• 将Bost-Connes $C^*$-代数 $A_K$ 构造为非单位交叉积 $\tilde{A}_K = C_0(X_K) \rtimes J_K$ 的全角落。
• 通过理想半群 $I_K$ 在 $Y_K = \hat{\mathcal{O}}_K \times_{\hat{\mathcal{O}}_K^*} G_K^{\mathrm{ab}}$ 上的作用，分析 $A_K$ 的本原理想空间。
• 研究 $A_K$ 上的 $\mathbb{R}$-作用 $\sigma_{t,K}$ 及其在本原理想空间上的诱导作用，从而在 $\hat{P}_K^1$ 上导出一个动力系统。
• 利用 $\hat{P}_K^1$ 上的流 $\sigma_{t,K}$，通过 $\mathbb{R}$-等变同胚重构范数映射 $N: P_K^1 \to \mathbb{Q}_+^*$。
• 证明 $\hat{P}_K^1$ 上的动力系统之间的 $\mathbb{R}$-等变同构蕴含保持范数的群同构，从而将代数数论与算子代数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将狭类数 $h_K^1$ 作为Bost-Connes $C^*$-代数 $A_K$ 的不变量恢复出来？
• RQ2 对于数域 $K$，$A_K$ 的本原理想空间是否推广了 $K=\mathbb{Q}$ 时已知的结构？
• RQ3 能否从 $\hat{P}_K^1$ 上带有 $\mathbb{R}$-作用的动力系统重构范数群 $P_K^1$ 上的范数映射？
• RQ4 $\hat{P}_K^1$ 的本原理想空间的 $\mathbb{R}$-等变结构是否足以区分非同构数域的Bost-Connes系统？

主要发现

• Bost-Connes $C^*$-代数 $A_K$ 具有 $h_K^1$-维不可约表示，且不存在其他维数的有限维不可约表示。
• 狭类数 $h_K^1$ 是 $C^*$-代数 $A_K$ 的不变量，与Dedekind zeta函数无关。
• 存在具有同构 zeta 函数但不同狭类数的数域，表明 $h_K^1$ 是一个非平凡不变量。
• 在无限维环面 $\hat{P}_K^1$ 上的动力系统 $(\hat{P}_K^1, \sigma_{t,K})$ 是 $A_K$ 的不变量。
• 通过 $\mathbb{R}$-等变同胚，可从 $\hat{P}_K^1$ 上的 $\mathbb{R}$-作用重构范数映射 $N: P_K^1 \to \mathbb{Q}_+^*$。
• 对于二次域，素数的非分裂性由 $\hat{P}_K^1$ 动力系统决定，且所有此类Bost-Connes系统彼此均不构同。