[论文解读] Irreducible representations of Leavitt path algebras

Xiaowu Chen|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 4

一句话总结

本论文通过左无限路径与终止于汇点的有限路径构造了莱维特路径代数的不可约表示，利用代数分支系统对行有限有向图的不可约表示进行了分类。主要贡献在于使用有理与无理无限路径及汇点，实现了不可约表示的完整且非同构的参数化，并证明了在无限域上完全可约表示的忠实性。

ABSTRACT

We construct some irreducible representations of the Leavitt path algebra of an arbitrary quiver. The constructed representations are associated to certain algebraic branching systems. For a row-finite quiver, we classify algebraic branching systems, to which irreducible representations of the Leavitt path algebra are associated. For a certain quiver, we obtain a faithful completely reducible representation of the Leavitt path algebra. The twisted representations of the constructed ones under the scaling action are studied.

研究动机与目标

• 通过左无限路径和终止于汇点的有限路径，系统构造任意有向图的莱维特路径代数的不可约表示。
• 对行有限有向图，利用代数分支系统对不可约表示进行分类。
• 利用有理/无理无限路径与汇点，建立不可约表示的完整且非同构的参数化。
• 在特定条件下，证明莱维特路径代数的完全可约表示的忠实性。
• 研究在缩放作用下的扭曲表示，并导出新的不可约表示。

提出的方法

• 通过由固定顶点终止的路径张成的表示空间，利用路径乘法定义左无限路径的表示。
• 定义终止于汇点的有限路径对应的表示，其同构于由汇点处的幂等元生成的极小左理想。
• 引入代数分支系统以参数化表示，不可约性与路径结构及稳定性条件相关。
• 利用分支系统上的缩放作用生成扭曲表示，从而导出新的不可约表示。
• 应用 $L_k(Q)$ 中元素的正规形式，并分析其在表示空间上的作用，以证明忠实性。
• 利用无限域条件，选取参数 $\lambda \in k^\times$，使得路径作用的线性组合保持非零，从而确保表示的非平凡性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地利用路径结构，为任意有向图构造莱维特路径代数的不可约表示？
• RQ2 哪些代数分支系统能产生行有限有向图的不可约表示？
• RQ3 所有 $L_k(Q)$ 的极小左理想是否都能通过无限路径或有限路径构造为不可约表示？
• RQ4 在何种条件下，$L_k(Q)$ 的完全可约表示可以是忠实的？
• RQ5 在缩放作用下的扭曲表示如何生成新的不可约表示？

主要发现

• 本文构造了一个完整的、成对非同构的 $L_k(Q)$ 不可约表示族，其参数化为不相交并集 $\widetilde{Q}^{\rm irr}_{\infty} \cup (k^\times \times \widetilde{Q}^{\rm rat}_{\infty}) \cup Q^{s}_0$。
• 对于行有限有向图，与代数分支系统相关的不可约表示恰好是通过左无限路径（有理或无理）以及终止于汇点的有限路径构造的表示。
• 当 $k$ 为无限域时，表示 $\mathcal{S} = \bigoplus_{[p]\in\widetilde{Q}^{\rm irr}_{\infty}} \mathcal{F}_{[p]} \oplus \bigoplus_{\lambda\in k^\times, [p]\in\widetilde{Q}^{\rm rat}_{\infty}} \mathcal{F}^{\lambda}_{[p]} \oplus \bigoplus_{i\in Q^{s}_0} \mathcal{N}_i$ 是忠实的。
• 在缩放作用下的扭曲表示生成了新的不可约表示，且 $\mathcal{F}^{\lambda}_{[p]} \simeq \mathcal{F}^{\lambda'}_{[p]}$ 当且仅当 $\lambda = \lambda'$，从而确保 $\lambda \in k^\times$ 下的非同构性。
• 所构造的表示包含了可数有向图的 $L_k(Q)$ 的所有极小左理想，如命题 4.3 所示。
• 忠实性证明依赖于无限域条件，以选取 $\lambda \in k^\times$，使得系数 $\lambda_1 + \sum_{i\in I_1} \lambda_i \lambda^{m_i} \neq 0$，从而确保在 $\mathcal{F}^{\lambda}_{[p]}$ 上的作用非平凡。