[论文解读] Irreducible representations of product of real reductive groups

Dmitry Gourevitch, Alexander Kemarsky|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文证明了任意实李群的半单群 $G_1 \times G_2$ 的不可约光滑、极小表示，均可唯一分解为 $G_1$ 和 $G_2$ 上不可约光滑、极小表示的完全张量积。证明依赖于 Casselman-Wallach 等价关系，将 Harish-Chandra 模与光滑表示联系起来，并将已知的张量积不可约性结果推广至光滑表示的完整范畴，从而证明在乘积群中不可约性蕴含因子分解。一个关键推论建立了配对 $H \subset G$ 的强 Gelfand 性质与对角配对 $ abla H \subset G \times H$ 的标准 Gelfand 性质之间的等价性。该工作解决了实半单群表示理论中的一个结构性问题。

ABSTRACT

Let $G_1,G_2$ be real reductive groups and $(π,V)$ a smooth, irreducible, admissible representation of $G_1 imes G_2$. We prove that $(π,V)$ is the completed tensor product of $(π_i,V_i)$, $i=1,2$, where $(π_i,V_i)$ is a smooth,irreducible,admissible representation of $G_i$, $i=1,2$. We deduce this from the analogous theorem for Harish-Chandra modules, for which one direction was proven in [AG] and the other direction we prove here. As a corollary, we deduce that strong Gelfand property for a pair $H \subset G$ of real reductive groups is equivalent to the usual Gelfand property of the pair $ΔH \subset G imes H$.

研究动机与目标

• 建立实半单李群乘积的不可约光滑、极小表示的结构性分类。
• 证明此类表示可分解为因子上不可约表示的完全张量积。
• 将已知的 Harish-Chandra 模张量积不可约性结果推广至光滑表示的完整范畴。
• 将分解结果应用于以对角子群刻画重数一配对与 Gelfand 配对。
• 通过对角嵌入建立强 Gelfand 性质与标准 Gelfand 性质之间的等价性。

提出的方法

• 利用 Casselman-Wallach 等价关系，将 $G_i$ 的光滑表示与 $(\mathfrak{g}_i, K_i)$-模的 Harish-Chandra 模联系起来。
• 证明任意 $\mathfrak{g}_1 \times \mathfrak{g}_2$ 上的不可约 Harish-Chandra 模同构于 $\mathfrak{g}_1$ 和 $\mathfrak{g}_2$ 上不可约模的张量积，使用有限长度与极小性论证。
• 利用光滑表示中 $K$-有限向量构成 Harish-Chandra 模的事实，以及 $K$-有限函子是等价映射这一性质。
• 通过识别表示空间中的 $K$-型并利用群作用的交换性，实现对每个因子群成分的分离，从而构造因子分解。
• 利用 Casselman 的嵌入定理证明不可约 Harish-Chandra 模可嵌入到标准系列中，支持有限长度论证。
• 通过 Casselman-Wallach 全局化方法，将完全张量积结构的结果推广至光滑表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 $G_1 \times G_2$ 的不可约光滑、极小表示是否可表示为 $G_1$ 和 $G_2$ 上不可约光滑、极小表示的完全张量积？
• RQ2 $G_1$ 和 $G_2$ 上不可约光滑表示的完全张量积在 $G_1 \times G_2$ 中是否自身不可约？
• RQ3 实半单群配对 $H \subset G$ 的强 Gelfand 性质是否等价于对角配对 $ abla H \subset G \times H$ 的标准 Gelfand 性质？
• RQ4 乘积群不可约表示的结构如何与 Harish-Chandra 模的表示理论相关联？
• RQ5 表示 $G$ 上的 $H$-不变泛函与表示 $G \times H$ 上的 $ abla H$-不变泛函之间的确切关系为何？

主要发现

• 每个 $G_1 \times G_2$ 的不可约光滑、极小表示同构于 $G_1$ 和 $G_2$ 上不可约光滑、极小表示的完全张量积，从而实现了完全因子分解。
• $G_1$ 和 $G_2$ 上不可约光滑表示的完全张量积在 $G_1 \times G_2$ 中本身不可约，确认了已知结果的逆命题。
• 证明了 $\mathfrak{g}_1 \times \mathfrak{g}_2$ 上不可约 Harish-Chandra 模可分解为 $M_1 \otimes M_2$，其中 $M_i$ 为 $\mathfrak{g}_i$-模上的不可约模，扩展了先前工作。
• 当且仅当配对 $(G \times H, \nabla H)$ 是 Gelfand 配对时，$H \subset G$ 满足强 Gelfand 性质，从而建立了结构性等价。
• 表示 $\pi$ 上的 $H$-不变泛函空间，与表示 $\pi \otimes \widetilde{\tau}$ 上的 $\nabla H$-不变泛函空间之间存在自然同构，其中 $\widetilde{\tau}$ 是 $\tau$ 的对偶表示，建立了对偶性桥梁。
• 证明依赖于 Casselman-Wallach 等价关系，以及光滑表示中 $K$-有限向量构成 Harish-Chandra 模的事实，从而实现在不同范畴间的结果转移。