[论文解读] Irreducible representations of untwisted affine Kac-Moody algebras

Xiangqian Guo, Kaiming Zhao|arXiv (Cornell University)|May 17, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 13

一句话总结

本文通过结合环模和具有特殊性质的模，构造了未扭 affine Kac-Moody 代数上一类新的不可约模，推广了最高权模和 Whittaker 模。它给出了每个正部分根向量作用为局部有限的不可约模的完整分类，并确立了可积最高权模与环模张量积简化的充要条件。

ABSTRACT

In this paper we construct a class of new irreducible modules over untwisted affine Kac-Moody algebras $\widetilde{\mathfrak{g}}$, generalizing and including both highest weight modules and Whittaker modules. These modules allow us to obtain a complete classification of irreducible $\widetilde{\mathfrak{g}}$-modules on which the action of each root vector in $\widetilde{\mathfrak{n}}_+$ is locally finite, where $\widetilde{\mathfrak{n}}_+$ is the locally nilpotent subalgebra (or positive part) of $\widetilde{\mathfrak{g}}$. The necessary and sufficient conditions for two such irreducible $\widetilde{\mathfrak{g}}$-modules to be isomorphic are also determined. In the second part of the paper, we use the "shifting technique" to obtain a necessary and sufficient condition for the tensor product of irreducible integrable loop $\widetilde{\mathfrak{g}}$-modules and irreducible integrable highest weight $\widetilde{\mathfrak{g}}$-modules to be simple. This tensor product problem was originally studied by Chari and Pressley 28 years ago.

研究动机与目标

• 构造 untwisted affine Kac-Moody 代数上一类新的不可约模，其同时推广最高权模和 Whittaker 模。
• 对所有满足每个正部分根向量作用为局部有限的不可约模进行完整分类。
• 确定可积最高权模与环模张量积不可约性的必要且充分条件。
• 将不可约模的分类从有限维权空间扩展至包含无限维情形。
• 解决 Chari 和 Pressley 二十八年前提出的一个长期悬而未决的问题，即此类张量积的简化性问题。

提出的方法

• 通过从 $\mathfrak{g} \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ 的不可约评价模与具有特殊性质的模 $L$（例如最高权模或 Whittaker 模）的张量积诱导构造新不可约模。
• 利用诱导模 $\mathrm{Ind}_{\widehat{\mathfrak{g}}}^{\widetilde{\mathfrak{g}}}(E \otimes L)$ 生成 $\widetilde{\mathfrak{g}}$-不可约模。
• 应用“平移技巧”分析可积最高权模与环模张量积的结构。
• 通过比较特定权空间中 $e \otimes t^{-1}$ 作用的维数，分析其在权空间上的作用以确定不可约性条件。
• 通过显式计算 $ (e \otimes t^{-1})^j (V(\epsilon) \otimes V(2\epsilon)) $ 来评估 $ W^{(j)} = W $ 的成立条件，这是不可约性的一个关键判据。
• 使用表示论工具，如 Verma 型模、来自非标准根系统划分的 Borel 子代数，以及权空间分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\widetilde{\mathfrak{n}}_+$ 中每个根向量作用为局部有限的条件下，$\widetilde{\mathfrak{g}}$-不可约模的完整分类是什么？
• RQ2 在何种条件下，可积最高权模与可积环模的张量积是简化的？
• RQ3 是否可以通过显式比较权空间维数，确定由评价模与特殊 $\widehat{\mathfrak{g}}$-模构造的诱导模的不可约性？
• RQ4 控制不可约性的函数 $\kappa(\boldsymbol{\lambda}, \mathbb{a}, \Lambda)$ 如何依赖于参数 $\boldsymbol{\lambda}, \mathbb{a}, \Lambda$？
• RQ5 能否以最高权和参数 $a_i$ 的显式公式表示 $\kappa(\boldsymbol{\lambda}, \mathbb{a}, \Lambda)$？

主要发现

• 本文提供了 $\widetilde{\mathfrak{g}}$-不可约模的完整分类，其中每个 $\widetilde{\mathfrak{n}}_+$ 中的根向量作用为局部有限，包括最高权模、Whittaker 模以及新的非权模。
• 对于 $\mathfrak{sl}_2^{(1)}$，当且仅当 $W^{(k-i+1)} = W$ 时，$E((\epsilon,2\epsilon);(a_1,a_2);b) \otimes \widetilde{V}(i\epsilon + k\Lambda_0)$ 是不可约的，其中 $W^{(j)}$ 表示 $ (e \otimes t^{-1})^j (V(\epsilon) \otimes V(2\epsilon)) \otimes u $ 的张成空间。
• 当 $i=0$ 时，对所有互异的 $a_1, a_2 \in \mathbb{C}^*$，有 $\kappa((\epsilon,2\epsilon);(a_1,a_2);0) = 2$，这意味着张量积仅在 $k=1$ 时不可约。
• 当 $i=1$ 时，$\kappa((\epsilon,2\epsilon);(a_1,a_2);\epsilon) = 2$，因此不可约性仅在 $k=1$ 时成立。
• 当 $i \geq 2$ 时，$\kappa((\epsilon,2\epsilon);(a_1,a_2);i\epsilon) = i$，表明当 $k \geq i$ 时不可约性不成立。
• 函数 $\kappa$ 与参数 $a_1$ 和 $a_2$ 无关，显示出不可约性条件中出人意料的不变性。