[论文解读] Irregular connections and Kac-Moody root systems

Philip Boalch|SPIRE - Sciences Po Institutional REpository|Jun 5, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用 54

一句话总结

本文建立了黎曼球面上非正则极性可积联络的模空间与中村双亏格图变体之间的对应关系，表明此类联络通过其底层图结构自然诱导出卡克–莫迪根系。通过反射函子实现的威爾群作用及图对偶性，导出模空间之间的同构，推广了关于Painlevé方程的已知结果，并将Crawley-Boevey在稳定联络方面的结果扩展至非正则情形。

ABSTRACT

Some moduli spaces of irregular connections on the trivial bundle over the Riemann sphere will be identified with Nakajima quiver varieties. In particular this enables us to associate a Kac-Moody root system to such connections (yielding many isomorphisms between such moduli spaces, via the reflection functors for the corresponding Weyl group). The possibility of 'reading' a quiver in different ways also yields numerous isomorphisms between such moduli spaces, often between spaces of connections on different rank bundles and with different polar divisors. Finally some results of Crawley-Boevey on the existence of stable connections will be extended to this more general context.

研究动机与目标

• 建立在黎曼球面上平凡丛上非正则联络的模空间与中村双亏格图变体之间的几何对应关系。
• 证明此类联络通过其底层图结构自然诱导出卡克–莫迪根系。
• 将第四类Painlevé方程与仿射$\widehat{A}_2$威爾群之间已知的联系推广至更广泛的联络与图类。
• 将Crawley-Boevey关于稳定联络的结果扩展至非正则情形，特别是针对极点阶数不超过三且不正则类型为半单的联络。

提出的方法

• 通过形式单值(monodromy)与Stokes数据，构造在$\mathbb{P}^1$上平凡丛上具有固定形式类型的梅洛普拉连接的模空间$\mathcal{M}^*$。
• 将这些模空间识别为图$\mathcal{Q}$的中村双亏格图变体$\mathcal{N}_{\mathcal{Q}}(\mathbf{d}, \lambda)$，其中图$\mathcal{Q}$的底层为完全$k$-分图$\Gamma$。
• 利用不正则类型的结构$\left(\frac{A_0}{z^k} + \cdots + \frac{A_{k-2}}{z^2}\right)dz$，定义一组嵌套的稳定化子子群$H_i$，从而形成一个根系树状的特征空间结构。
• 通过$r$-分裂操作（将节点替换为通过$r$条边连接的多个节点）将不正则类型的余伴随轨道$\mathcal{O}_B$编码为图变体。
• 应用图表示理论中的反射函子，生成威爾群作用，从而在不同联络模空间之间诱导出同构。
• 在节点上附加“腿”（类型$A$的Dynkin图），以建模Fuchs型奇点，并将对应关系扩展至具有多个正则奇点的联络。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将黎曼球面上非正则联络的模空间与中村双亏格图变体相联系？
• RQ2 给定一个非正则联络，其对应的卡克–莫迪根系为何？其威爾群如何作用于模空间？
• RQ3 通过以多种方式‘读取’图结构（即不同图读法），不同秩丛与极点结构的联络模空间之间如何产生同构？
• RQ4 Crawley-Boevey关于稳定联络存在性的结果能否推广至非正则情形，特别是针对极点阶数不超过三且不正则类型为半单的联络？
• RQ5 对于高阶极点（如阶数四或更高），其图结构为何？如何通过节点的$r$-分裂操作进行编码？

主要发现

• 具有至多三阶极点且不正则类型为半单的非正则联络，以及有限个Fuchs型奇点的模空间，同构于完全$k$-分图$\Gamma$的中村双亏格图变体。
• 关联卡克–莫迪根系的威爾群通过反射函子作用，诱导出不同联络模空间之间的显式同构。
• 同一模空间可依图的‘读法’不同而以多种方式实现为图变体，从而导出不同秩丛与不同极点结构的联络模空间之间的同构。
• 对于高阶极点（如阶数$k \geq 4$），图结构包含多条边，通过节点的$r$-分裂操作编码，边的重数由极点阶数决定。
• 不正则类型的余伴随轨道$\mathcal{O}_B$作为哈密顿$H$-空间，通过在根系树状特征空间上的递归$r$-分裂过程，同构于图变体$\mathbb{V}(\mathcal{Q})$。
• 在秩为二的丛上，若存在一个四阶极点且$A_0$为正则半单，则所得图结构为仿射$A_1$ Dynkin图，与Painlevé IV方程的已知结果一致。