[论文解读] Irregular Labellings of Circulant Graphs

Marcin Anholcer|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2011

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文确定了循环图 $Ci_n(1,2,\dots,k)$ 的总顶点不规则性强度（tvs）和不规则性强度（s）的精确值，证明了 $tvs(Ci_n(1,2,\dots,k)) = \left\lceil\frac{n+2k}{2k+1}\right\rceil$ 与 $s(Ci_n(1,2,\dots,k)) = \left\lceil\frac{n+2k-1}{2k}\right\rceil$，但特定例外情况下需额外加 1。

ABSTRACT

We investigate the extit{irregularity strength} ($s(G)$) and extit{total vertex irregularity strength} ($tvs(G)$) of circulant graphs $Ci_n(1,2,...,k)$ and prove that $tvs(Ci_n(1,2,...,k))=\lceil\frac{n+2k}{2k+1} ceil$, while $s(Ci_n(1,2,...,k))=\lceil\frac{n+2k-1}{2k} ceil$ except the case when $(n \bmod 4k = 2k+1 \wedge k\bmod 2=1) \vee n=2k+1$ and $s(Ci_n(1,2,...,k))=\lceil\frac{n+2k-1}{2k} ceil+1$.

研究动机与目标

• 确定循环图 $Ci_n(1,2,\dots,k)$ 的总顶点不规则性强度（tvs）的精确值。
• 确立同一类循环图的不规则性强度（s）的精确值。
• 通过为 $s$ 和 $tvs$ 推导出紧致公式，解决关于 $s(G)$ 受 $n$ 和 $k$ 的函数有界的猜想。
• 识别并表征不规则性强度一般公式需额外加 1 的例外情况。

提出的方法

• tvs 的证明采用构造性标记策略，将图划分为若干段，并为边分配权重以确保加权度数互不相同。
• 一个关键技术引理在包含 $2k+1$ 个顶点的子图 $S^{(k)}$ 上构造一种标记方式，使用标签 0、1 和 2，使其具有特定的加权度数性质。
• 该方法通过将边标签乘以 $s/2$ 并加上顶点标签，实现各段之间加权度数的互不相同。
• 对于不规则性强度 $s$，作者采用递归构造方法，在顶点之间插入子图 $S^{(r')}\text{ 或 }R^{(r')}$ 以调节加权度数。
• 根据 $k$ 的奇偶性以及余数 $r = n \mod 4k$ 调整标记，对 $r = 2k+1$ 和 $k$ 为奇数的情况进行特殊处理。
• 通过反证法证明在例外情况下必须使用标签 $s+1$，依据是加权度数之和的奇偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 循环图 $Ci_n(1,2,\dots,k)$ 的总顶点不规则性强度 $tvs(Ci_n(1,2,\dots,k))$ 的精确值是什么？
• RQ2 这些图的不规则性强度 $s(Ci_n(1,2,\dots,k))$ 的精确值是什么？是否存在一般公式的例外？
• RQ3 在何种条件下标准公式对 $s$ 不足，需要何种修正？
• RQ4 对于 $Ci_n(1,2,\dots,k)$，$s(G)$ 和 $tvs(G)$ 的下界是否可以被精确达到？

主要发现

• 当 $n \geq 2k+1$ 时，$Ci_n(1,2,\dots,k)$ 的总顶点不规则性强度恰好为 $\left\lceil\frac{n+2k}{2k+1}\right\rceil$。
• 在所有情况下，不规则性强度 $s(Ci_n(1,2,\dots,k))$ 等于 $\left\lceil\frac{n+2k-1}{2k}\right\rceil$，但当 $(n \bmod 4k = 2k+1 \land k \bmod 2 = 1)$ 或 $n = 2k+1$ 时，其值为 $\left\lceil\frac{n+2k-1}{2k}\right\rceil + 1$。
• $tvs$ 和 $s$ 的公式与理论下界完全一致，证明了该图类的这些下界是紧致的。
• 通过加权度数之和的奇偶性论证，证明了在例外情况下必须使用标签 $s+1$。
• 构造过程是算法化且构造性的，提供了一种仅使用标签 $1$ 到 $s$ 或 $s+1$ 生成不规则标记的方法。