[论文解读] Irregular Recovery and Unequal Locality for Locally Recoverable Codes with Availability

Sourbh Bhadane, Andrew Thangaraj|arXiv (Cornell University)|May 14, 2017

Advanced Data Storage Technologies参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文引入并分析了局部可恢复码（LRC）具有可用性时的两种新设置：非规则恢复（所有坐标中恢复集大小固定但不均匀）和非均匀局部性（每个坐标具有变化的恢复配置）。针对这两种设置，推导出新的最小距离界，并提出显式构造方法——广义化了Tamo-Barg和校验矩阵方法——在特定条件下实现最优，包括在关键情况下与先前推导的上界等式成立。

ABSTRACT

A code is said to be a Locally Recoverable Code (LRC) with availability if every coordinate can be recovered from multiple disjoint sets of other coordinates called recovering sets. The vector of sizes of recovering sets of a coordinate is called its recovery profile. In this work, we consider LRCs with availability under two different settings: (1) irregular recovery: non-constant recovery profile that remains fixed for all coordinates, (2) unequal locality: regular recovery profile that can vary with coordinates. For each setting, we derive bounds for the minimum distance that generalize previously known bounds to the cases of irregular or varying recovery profiles. For the case of regular and fixed recovery profile, we show that a specific Tamo-Barg polynomial-evaluation construction is optimal for all-symbol locality, and we provide parity-check matrix constructions for information locality with availability.

研究动机与目标

• 为解决在非均匀或可变恢复配置下LRC可用性的理论界与构造缺失问题。
• 将现有LRC可用性最小距离界推广至非规则恢复配置与非均匀局部性的情形。
• 提供在推导界下实现最优的显式构造，特别是针对全符号局部性与具有可用性的信息局部性。
• 将已知构造（如Tamo-Barg与校验矩阵方法）扩展至支持非规则与非均匀恢复配置，同时保持最优性。

提出的方法

• 推导出具有非规则恢复的LRC的最小距离新上界，其中每个坐标具有t个不相交的恢复集，其大小为固定但不相等的r₁, r₂, ..., rₜ。
• 推导出具有非均匀局部性的LRC的广义最小距离上界，其中恢复配置(r₁, ..., rₜ)可按坐标变化。
• 提出广义Tamo-Barg多项式求值构造，当r = k−1且任意t时，实现全符号局部性的上界。
• 设计一种显式校验矩阵构造，用于具有信息局部性与可用性的LRC，在n ≥ k(tr+1)时达到[8]中的界。
• 利用有限域乘法子群的正交划分构造具有所需恢复配置的码。
• 采用线性代数技术计算与划分相关的函数空间交集空间的维数与基，确保码的维数k与最小距离d。

实验结果

研究问题

• RQ1 在恢复集大小固定但非均匀分布于所有坐标的情况下，LRC可用性的最小距离的最紧上界是什么？
• RQ2 能否为具有非均匀局部性（每个坐标恢复配置可变）的LRC设计显式构造，使其达到推导出的距离界？
• RQ3 当r = k−1且任意t时，广义Tamo-Barg构造是否能实现全符号局部性的上界？
• RQ4 能否将[4]中的校验矩阵构造扩展，使其在[8]的界下实现信息局部性与可用性的最优？
• RQ5 在何种条件下可使推导的界达到等式，以及如何显式构造此类最优码？

主要发现

• 本文推导出具有非规则恢复的LRC的最小距离新上界，将先前界推广至非均匀恢复集大小的情形。
• 对于具有非均匀局部性的LRC，本文建立了考虑坐标特定恢复配置的广义最小距离上界。
• 当r = k−1且任意t时，广义Tamo-Barg构造在全符号局部性下达到上界，证明了该情形下的最优性。
• 提供了一种显式校验矩阵构造，在n ≥ k(tr+1)时，对具有信息局部性与可用性的LRC达到[8]中的界。
• 在F₃₂上，n=32, k=8, r₁=7, r₂=3, t=2的示例3，达到d=23，与定理2的上界等式成立，证明了最优性。
• 利用有限域子群的正交划分的构造方法，可系统化设计具有所需恢复配置的码，并实现可证明的最优距离。