[论文解读] Irregular sets, the $\beta$-transformation and the almost specification property

Daniel J. Thompson|arXiv (Cornell University)|May 6, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用 4

一句话总结

本论文证明，对于满足‘几乎规范’性质（略弱于g-几乎积性质）的紧致度量空间上的连续映射，其连续观测函数的不规则集要么为空集，要么具有全拓扑熵和全Hausdorff维数。关键贡献在于将该结论应用于β-移位和β-变换，证明其不规则集要么为空，要么具有熵log β和维数1，方法基于广义Katok熵公式与几乎张紧集。

ABSTRACT

Let $(X,d)$ be a compact metric space, $f:X \mapsto X$ be a continuous map satisfying a property we call almost specification (which is slightly weaker than the $g$-almost product property of Pfister and Sullivan), and $\phi$ be a continuous function on $X$. We show that the set of points for which the Birkhoff average of $\phi$ does not exist (which we call the irregular set) is either empty or has full topological entropy. Every $\beta$-shift satisfies almost specification and we show that the irregular set for any $\beta$-shift or $\beta$-transformation is either empty or has full topological entropy and Hausdorff dimension.

研究动机与目标

• 建立在具有几乎规范性质的映射下，连续观测函数的不规则集要么为空集，要么具有全拓扑熵。
• 将多分形分析工具的应用范围从具有全规范性质的系统扩展至β-移位和β-变换等系统。
• 证明在β-移位和β-变换中，不规则集要么为空，要么具有全拓扑熵log β和全Hausdorff维数1。
• 为缺乏全规范性质的系统开发广义Katok型熵公式与几乎张紧集技术。
• 比较并对比两种方法——基于几乎规范性质与通过有限型移位从内部逼近——以证明不规则集的全熵。

提出的方法

• 引入‘几乎规范’性质作为g-几乎积性质的弱化形式，允许轨道拼接时存在小误差。
• 基于几乎张紧集与强分离集，发展广义Katok熵公式。
• 利用几乎规范性质构造轨道段，以受控误差逼近不规则集中任意给定点。
• 在几乎规范设定下应用压力的变分原理，推导熵的下界。
• 通过有限型移位从内部逼近β-移位，为不规则集的全熵与全维数提供另一种证明。
• 利用所有β-移位均满足几乎规范性质的事实，该性质对Lebesgue测度为全测度的β值成立，而全规范性质仅对零测度的β值成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有几乎规范性质的系统中，若非空，连续观测函数的不规则集是否具有全拓扑熵？
• RQ2 β-移位与β-变换中不规则集的拓扑熵与Hausdorff维数为何？
• RQ3 是否可通过‘几乎规范’方法与‘从内部通过有限型移位逼近’两种方法均证明不规则集的全熵？
• RQ4 在非一致双曲系统（如β-变换）中，几乎规范性质与全规范性质相比，其适用性如何？
• RQ5 g-几乎积性质（重命名为几乎规范）在将多分形分析扩展至更广泛的动力系统类中起何作用？

主要发现

• 在满足几乎规范性质的系统中，任意连续观测函数的不规则集要么为空集，要么具有全拓扑熵。
• 对每个β-移位或β-变换，其不规则集要么为空，要么具有精确的拓扑熵log β。
• 当非空时，β-移位与β-变换中的不规则集具有Hausdorff维数1。
• 所有β-移位均满足几乎规范性质，尽管全规范性质仅对Lebesgue测度为零的β值成立。
• 本文所发展的广义Katok公式可应用于缺乏全规范性质的系统，实现熵估计。
• 两种不同方法——基于几乎规范性质与通过有限型移位从内部逼近——均得出相同结论：β-移位中不规则集具有全熵与全维数。