[论文解读] Irreversibility, least action principle and causality

Jacky Cresson, Pierre Inizan|ArXiv.org|Dec 18, 2008

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 19被引用 5

一句话总结

该论文通过引入一种非对称嵌入，解决了分数阶动力学中最小作用量原理与因果性之间的矛盾。通过为轨迹和变分赋予不同的时间箭头，即使在非局部的分数阶设定下，也能推导出因果的欧拉-拉格朗日方程，既保持了变分原理，又尊重了物理因果性。

ABSTRACT

The least action principle, through its variational formulation, possesses a finalist aspect. It explicitly appears in the fractional calculus framework, where Euler-Lagrange equations obtained so far violate the causality principle. In order to clarify the relation between those two principles, we firstly remark that the derivatives used to described causal physical phenomena are in fact left ones. This leads to a formal approach of irreversible dynamics, where forward and backward temporal evolutions are decoupled. This formalism is then integrated to the Lagrangian systems, through a particular embedding procedure. In this set-up, the application of the least action principle leads to distinguishing trajectories and variations dynamical status. More precisely, when trajectories and variations time arrows are opposed, we prove that the least action principle provides causal Euler-Lagrange equations, even in the fractional case. Furthermore, the embedding developped is coherent.

研究动机与目标

• 将最小作用量原理（因其依赖于未来边界条件而被认为是非因果的）与物理因果性原则相协调。
• 解决标准分数阶欧拉-拉格朗日方程因同时使用左导数和右导数而导致的因果性失效问题。
• 通过区分正向（过去到未来）和反向（未来到过去）的时间演化，建立不可逆动力学的正式框架。
• 构建一个一致的非对称嵌入程序，以保持拉格朗日力学的变分结构。
• 证明所得到方程的因果性取决于轨迹与变分时间箭头的相对取向。

提出的方法

• 将左（正向）和右（反向）时间导数作为基本算子，其中左导数代表因果动力学。
• 定义一种形式体系，其中物理系统由两个独立演化过程描述：一个因果（正向），一个反因果（反向），分别由不同的微分方程控制。
• 对拉格朗日系统应用非对称嵌入，为轨迹和变分分配独立的时间箭头，从而解耦其动力学状态。
• 使用分数阶导数（黎曼-刘维尔型）推导修改后的欧拉-拉格朗日方程，关键条件是仅当轨迹与变分箭头相反时，因果性才被保持。
• 通过非局部算子的分部积分推导变分结构，表明仅在非对称嵌入下边界项才消失。
• 将该形式体系应用于具体情形（如谐振子），以验证分数阶区域中的一致性和不可逆性。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小作用量原理依赖于整个时间区间，如何与仅依赖过去状态的因果性原则相协调？
• RQ2 为何标准分数阶欧拉-拉格朗日方程无法尊重因果性？其结构上的根本原因是什么？
• RQ3 是否可以在分数阶动力学中保持变分原理，同时确保所得方程具有因果性？
• RQ4 时间箭头在变分过程中的作用是什么？它如何影响所得方程的因果结构？
• RQ5 能否构建一个一致的嵌入程序，以区分轨迹的时间方向与变分的时间方向？

主要发现

• 论文证明，通过确保轨迹时间箭头与变分时间箭头相反，可在分数阶情形下推导出因果的欧拉-拉格朗日方程。
• 当轨迹以左导数向前演化（正向时间），而变分以右导数定义（或反之），所得方程具有因果性且具有物理意义。
• 非对称嵌入程序具有一致性：它保持了变分结构，并导出一致的运动方程。
• 对于谐振子，当 α = 1 时，该形式体系重现经典方程；当 α = 1/2 时，得到不可逆动力学（如指数衰减），证实该模型与物理直觉一致。
• 最小作用量原理中出现的未来信息被编码在虚位移中，而非物理轨迹中，从而缓解了其目的论特征。
• 该框架允许在分数阶动力学中对不可逆现象（如具有长期记忆或非局部行为的系统）进行物理上一致的描述。