[论文解读] Is a bivariate polynomial with plus minus 1 coefficients irreducible? Very likely!

Lior Bary‐Soroker, Gady Kozma|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文研究了系数限制为±1的二元多项式不可约性的不可约性。通过概率方法和Rivin关于模M系数约化的变体论证，作者证明了随着次数r的增加，此类多项式可约的概率趋于零——表明在高次时这些多项式几乎必然不可约。

ABSTRACT

We prove that a random bivariate polynomial with plus minus 1 coefficients is irreducible with high probability.

研究动机与目标

• 研究系数限制为±1的二元多项式可约性的可能性。
• 将关于系数为±1的单变量多项式已知结果推广至二元情形。
• 证明当次数较大时，此类二元多项式极大概率不可约。
• 通过模算术和因子计数，提供可约性概率的严格概率界。

提出的方法

• 使用Rivin论证的变体，通过模M下首项与常数项的条件来界定可约多项式的数量。
• 定义集合Ω(r,N)，即系数为[−(2N−1), 2N−1]内奇数的多项式，确保模M=2N+1下的单射约化。
• 通过系数分解和模像约束来计数因子分解，从而界定可约多项式的数量。
• 应用不等式∑|d|≤N 1/|d| ≪ log N，推导出概率估计中的(log N)²因子。
• 利用F(X,Y)可约蕴含F(2,Y)或F(X,2)可约，或F(X,Y)=f(X)g(Y)的性质，实现分类讨论。
• 通过主界估计每类情况的概率，并证明当r→∞时其衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 随着次数增加，系数为±1的二元多项式可约的渐近概率是多少？
• RQ2 尽管单变量情形存在困难，能否利用概率方法确立此类多项式的不可约性？
• RQ3 与单变量±1系数多项式相比，引入第二个变量如何影响可约性的可能性？
• RQ4 模约化在界定奇数系数可约多项式数量中起什么作用？
• RQ5 能否利用二元因式分解的结构来证明几乎必然不可约性？

主要发现

• 当r→∞时，系数为±1的r次二元多项式F(X,Y)可约的概率趋于零。
• 可约性概率的界为O(r³ / 2ʳ)，该界呈指数快速衰减。
• 主要技术工具是Rivin论证的改进版本，得到系数在[−(2N−1), 2N−1]内的奇数系数多项式的界：C·r(log N)² / N · (1 + 1/(2N))ʳ。
• 对于F(2,Y)和F(X,2)，系数大小随2ʳ增长，因此令N=2ʳ可得衰减速率r³ / 2ʳ。
• F(X,Y)=f(X)g(Y)的情形贡献可忽略，其概率至多为2⁻ʳ²，渐近可忽略。
• 所有情形下可约性的联合概率趋于零，从而证明当r较大时，此类多项式几乎必然不可约。