[论文解读] Is conformal symmetry really anomalous?

Stefano Lucat, Tomislav Prokopec|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文主张，当通过补偿规范联络——具体而言，几何扭张量的迹——适当地实现Weyl对称性时，量子场论中的共形对称性并非根本性地出现异常。通过证明当正则化方法尊重共形对称性时，经典与路径积分量化均保持Weyl对称性，作者表明共形异常并非源于量子力学对称性的破坏，而是源于不一致的正则化方案。其核心贡献在于构建了一个将Weyl对称性与规范和引力对称性置于同等地位的框架，该框架通过无限组Ward恒等式保护其在量子层面的保持。

ABSTRACT

The conformal anomaly (also known as the stress-energy trace anomaly) of an interacting quantum theory, associated with violation of Weyl (conformal) symmetry by quantum effects, can be amended if one endows the theory with a dilatation current coupled to a vector field that is the gauge connection of local Weyl symmetry transformations. The natural candidate for this Weyl connection is the trace of the geometric torsion tensor, especially if one recalls that pure (Cartan-Einstein) gravity with torsion is conformal. We first point out that both canonical and path integral quantisation respect Weyl symmetry. The only way quantum effects can violate conformal symmetry is by the process of regularization. However, if one calculates an effective action from a conformally invariant classical theory by using a regularisation procedure that is conform with Weyl symmetry, then the conformal Ward identities will be satisfied. In this sense Weyl symmetry is not broken by quantum effects. This work suggests that Weyl symmetry can be treated on equal footing with gauge symmetries and gravity, for which an infinite set of Ward identities guarantees that they remain unbroken by quantum effects.

研究动机与目标

• 挑战共形对称性在量子场论中根本性异常的常规观点。
• 证明当正则化尊重共形不变性时，经典与路径积分量化均保持Weyl对称性。
• 提出共形异常并非对称性的量子破坏，而是不一致正则化方案的结果。
• 建立一个形式框架，使Weyl对称性与规范和引力对称性类似处理，通过无限组Ward恒等式确保其在量子层面的保持。

提出的方法

• 使用保持有效作用量中共形对称性的Weyl不变正则化程序。
• 将几何扭张量的迹引入为局部Weyl变换的规范联络，类似于U(1)规范理论中的电磁势。
• 应用相空间路径积分量化方法，证明即使在引力背景场下，测度在Weyl变换下仍保持不变。
• 从路径积分形式中的Ehrenfest定理推导共形Ward恒等式，确保量子一致性。
• 显式构造路径积分振幅(76)，以明显Weyl对称和微分同胚对称的形式表示，且与规范选择无关。
• 使用非局部作用量（如Riegert作用量）描述异常项（如Weyl²和高斯-博内项），同时指出R²项为非变分项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如果正则化尊重Weyl不变性，共形对称性是否能在量子场论中保持？
• RQ2 共形异常是否真的是对称性的量子破坏，还是正则化方案的产物？
• RQ3 扭张量的迹能否作为局部Weyl对称性的规范联络，类似于杨-米尔斯理论中的规范场？
• RQ4 Ward恒等式如何确保Weyl对称性在量子场论中保持未被破坏，类似于规范与引力对称性？
• RQ5 几何扭张量在定义弯曲时空中共形结构的一致性中起什么作用？

主要发现

• 当引力场对路径积分测度有非平凡贡献时，经典与路径积分量化均明显保持Weyl对称性。
• 由于引力部分的非平凡贡献，路径积分测度在Weyl变换下保持不变，从而反驳了测度破坏Weyl对称性的普遍说法。
• 当正则化尊重Weyl对称性时，有效作用量保持共形Ward恒等式，意味着对称性未在量子层面被破坏。
• 共形异常并非量子场论的内在特征，而仅在正则化破坏共形不变性时才出现。
• 几何扭张量的迹为局部Weyl对称性的规范联络提供了自然候选，尤其在含扭的纯Cartan-Einstein引力中。
• 散射振幅(76)明显保持Weyl对称与微分同胚对称，且与规范条件无关，证实了该量化程序的一致性。