[论文解读] Is exponential metric a natural space-time metric of Newtonian gravity ?

M. Martinis, Nediljko Perković|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2010

Relativity and Gravitational Theory参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文提出，当牛顿引力以质量-能量等价关系 $E=mc^2$ 衍生的有效质量形式表述时，自然导出指数时空度规。通过在双体系统中应用带有相对论修正质量的拉格朗日形式，作者推导出指数度规 $g_{00} = e^{-2u}$，$g_{ii} = -e^{2u}$，该度规成功重现了近日点进动、光线偏折和引力红移，其结果与广义相对论在引力势 $u = GM/(rc^2)$ 的一阶近似下完全一致。

ABSTRACT

We show how Newtonian gravity with effective (actually observed) masses, obeying the mass-energy relation of special relativity, can explain all observations used to test General relativity. Dynamics of a gravitationally coupled binary system is considered in detail, and the effective masses of constituents are determined. Interpreting our results in terms of motion in a curved space-time background, we are led, using the Lagrangian formalism, to consider the exponential metric as a natural space-time metric of Newtonian gravity.

研究动机与目标

• 探究牛顿引力在使用 $E=mc^2$ 衍生的有效质量时，是否能重现诸如近日点进动和光线偏折等关键相对论效应。
• 确定此类形式所导致的时空几何是否自然导出指数度规。
• 证明在牛顿动力学中使用有效质量时，拉格朗日形式可自然导出指数度规。
• 在不引入爱因斯坦场方程的前提下，为引力红移和光线弯曲等相对论现象提供经典解释。
• 主张指数度规是引力场中观察者依赖的有效质量的自然结果，而非对广义相对论的修改。

提出的方法

• 使用有效质量 $m_g = m_0 e^u$（其中 $u = GM/(rc^2)$）来表述牛顿引力，以纳入相对论能量修正。
• 使用拉格朗日量 $L = -m_0 c^2 e^{-u} \sqrt{1 - e^{4u} \beta^2}$ 推导粒子在引力场中的运动。
• 从固有时间 $d\tau = dt_g \sqrt{1 - \beta_g^2}$ 推导时空度规，得到 $g_{00} = e^{-2u}$ 和 $g_{ii} = -e^{2u}$。
• 将该度规应用于二体问题，并在极坐标下利用微分方程 $u^{\prime\prime} + u = \frac{1}{l^2} + 2(u^{\prime 2} + u^2)$ 分析轨道运动。
• 将轨道方程按 $u \ll 1$ 展开，获得近日点进动和光线偏折的近似解。
• 通过设 $m_0 = 0$ 分析光线轨迹，在弱场极限下求解 $u^{\prime\prime} + u = 2u_1^2$，计算偏折角 $\Delta\varphi = 4GM_0/(c^2 r_{\text{min}})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用满足 $E=mc^2$ 的有效质量时，牛顿引力能否重现行星的近日点进动？
• RQ2 在拉格朗日框架中，使用相对论修正质量是否会导致指数时空度规？
• RQ3 能否通过使用有效质量的牛顿引力准确预测光线的引力偏折，使其与观测值 $4GM/c^2 r_{\text{min}}$ 一致？
• RQ4 在此框架中，引力红移如何产生？其结果是否与广义相对论一致？
• RQ5 指数度规是否为牛顿引力中观察者依赖的有效质量的自然结果，而非对广义相对论的后设修改？

主要发现

• 当在牛顿引力中使用有效质量 $m_g = m_0 e^u$ 时，拉格朗日形式自然导出指数度规 $g_{00} = e^{-2u}$，$g_{ii} = -e^{2u}$。
• 该理论以 $\Delta\varphi \approx 6\pi GM/(c^2 a)$ 的进动角重现了行星的近日点进动，与广义相对论在 $u$ 的一阶近似下完全一致。
• 引力偏折角计算为 $\Delta\varphi = 4GM_0/(c^2 r_{\text{min}})$，与观测值及广义相对论完全一致，而不同于使用裸质量的经典牛顿引力。
• 引力红移推导为 $\Delta E/E \approx u(2) - u(1)$，与广义相对论预测及观测数据一致。
• 引力场中粒子的有效质量为 $m_g = m_0 e^u$，在地球表面 $m_g/m_0 \approx 1 + 7 \times 10^{-10}$，证实了微小的相对论修正。
• 该理论在不依赖广义相对论场方程完整框架的前提下，为相对论现象提供了经典解释。