[论文解读] Is Lipschitz Continuity Preserved under Sampled-Data Discretization?

Masoud Abbaszadeh|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2016

Control Systems and Identification参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文研究了非线性连续时间系统在基于零阶保持（ZOH）的近似离散化下，Lipschitz连续性是否被保留。推导了离散时间Lipschitz常数和单边Lipschitz常数的解析表达式，其形式基于连续时间常数、系统矩阵范数、采样时间以及雅可比导数，表明在有界条件下该性质可被保留，并给出了明确的误差界。

ABSTRACT

Usually, given a continuous-time nonlinear model, a closed form solution for an exact discretization cannot be found explicitly, originating the need of approximating discrete-time models. This note studies the preservation of the Lipschitz continuity under approximate discretizations.

研究动机与目标

• 分析非线性连续时间系统的Lipschitz连续性特性在基于ZOH的近似离散化下是否被保留。
• 将分析扩展至比标准Lipschitz连续性更宽松的单边Lipschitz条件。
• 基于连续时间参数，推导离散时间Lipschitz常数的显式解析表达式。
• 为采样数据控制系统中稳定性与性能保证的保持提供定量界。
• 通过建立离散化下的连续性保持性，支持在控制设计中使用高阶近似模型。

提出的方法

• 在ZOH假设下，利用连续时间系统解的泰勒-李级数展开，分析每个采样间隔内的系统行为。
• 通过系统动力学的连续时间导数，推导至三阶的近似离散时间模型。
• 应用矩阵范数和内积性质，以界离散时间下的Lipschitz条件。
• 利用系统矩阵A的诱导范数和雅可比矩阵∂f/∂x的谱范数，量化状态差异的增长。
• 建立离散时间Lipschitz常数γd关于T、γc、∥A∥及高阶导数的界。
• 单独推导了依赖于ρc和γc的单边Lipschitz常数ρd的表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过ZOH离散化推导出的近似离散时间模型中，标准的双侧Lipschitz连续性条件是否依然成立？
• RQ2 相同的离散化下，单边Lipschitz条件是否可被保持，其与双侧情况有何关系？
• RQ3 在ZOH离散化下，连续时间Lipschitz常数与离散时间对应常数之间的解析关系是什么？
• RQ4 采样时间T和系统矩阵范数如何影响离散化模型中Lipschitz连续性的保持？
• RQ5 在二阶和三阶近似模型中，离散时间Lipschitz常数的显式表达式是什么？

主要发现

• 对于二阶近似模型，离散时间双侧Lipschitz常数γd满足界：Tγc + T²(∥A∥γc + γc²/2)。
• 对于三阶模型，γd包含涉及二阶导数范数β和函数范数M的附加项，且显式依赖于T³。
• 单边Lipschitz常数ρd表达为Tρc + (T²/2)∥A∥(ρc + γc + ρcγc)，表明单边与双侧常数之间存在耦合。
• 离散Lipschitz常数随采样时间T线性增长，但高阶项依赖于系统矩阵和雅可比矩阵的范数。
• 结果表明，只要连续系统满足条件且T足够小，Lipschitz连续性在ZOH离散化下即可被保持。
• 推导出的界为采样数据非线性系统的稳定性分析和LMI-based控制器设计提供了基础。