[论文解读] Is set theory indispensable?

Nik Weaver|ArXiv.org|May 11, 2009

Philosophy and Theoretical Science参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文主张，策梅洛-弗兰克尔集合论加选择公理（ZFC）并非主流数学或科学所不可或缺，因为所有此类数学均可在更弱、更可辩护的 predicative（预设性）系统中形式化，这些系统在哲学上更可接受，且形而上学承诺更少。主要贡献在于对集合论柏拉图主义及蒯因-普特南不可替代性论点的批判，结论是ZFC缺乏坚实的哲学基础，甚至可能证明某些数论命题为假。

ABSTRACT

Although Zermelo-Fraenkel set theory (ZFC) is generally accepted as the appropriate foundation for modern mathematics, proof theorists have known for decades that virtually all mainstream mathematics can actually be formalized in much weaker systems which are essentially number-theoretic in nature. Feferman has observed that this severely undercuts a famous argument of Quine and Putnam according to which set theoretic platonism is validated by the fact that mathematics is "indispensable" for some successful scientific theories (since in fact ZFC is not needed for the mathematics that is currently used in science). I extend this critique in three ways: (1) not only is it possible to formalize core mathematics in these weaker systems, they are in important ways better suited to the task than ZFC; (2) an improved analysis of the proof-theoretic strength of predicative theories shows that most if not all of the already rare examples of mainstream theorems whose proofs are currently thought to require metaphysically substantial set-theoretic principles actually do not; and (3) set theory itself, as it is actually practiced, is best understood in formalist, not platonic, terms, so that in a real sense *set theory is not even indispensable for set theory*. I also make the point that even if ZFC is consistent, there are good reasons to suspect that some number-theoretic assertions provable in ZFC may be false. This suggests that set theory should not be considered central to mathematics.

研究动机与目标

• 挑战策梅洛-弗兰克尔集合论加选择公理（ZFC）作为数学基础的哲学正当性。
• 论证蒯因-普特南不可替代性论点之所以失败，是因为科学与主流数学实际上并不需要集合论。
• 证明几乎所有主流数学，包括科学中应用的数学，均可在预设性、数论型系统中形式化。
• 表明当前实践中的集合论更宜被理解为形式主义而非柏拉图主义，从而削弱其基础地位。
• 质疑在ZFC中可证但在预设性系统中不可证的数论命题的真实性，暗示ZFC可能证明错误的算术命题。

提出的方法

• 分析预设性系统的证明论强度，并与ZFC在形式化主流数学方面的表现进行比较。
• 应用证明论与反向数学的成果，表明几乎所有需要‘集合论’原则的定理均可在更弱的预设性系统中形式化。
• 批判集合的迭代概念依赖于物理主义隐喻（如通过操作形成幂集），这些隐喻在应用于无限或不可数集合时无法成立。
• 审视集合论柏拉图主义的认识论与本体论问题，尤其是我们如何能认识抽象集合的缺乏一致解释。
• 通过评估ZFC是否具有标准ω模型来评估其一致性和真理性，认为此类模型在无特殊理由下极不可能存在。
• 运用勒文海姆-斯科伦定理论证，若不预先假定集合论，则无法有意义地描述不可数结构，从而削弱其物理或直觉可及性的主张。

实验结果

研究问题

• RQ1 策梅洛-弗兰克尔集合论加选择公理（ZFC）是否真的对主流数学或科学应用不可或缺？
• RQ2 ZFC的全部强度能否被更弱、更可辩护的预设性系统替代，且仍足以形式化核心数学？
• RQ3 考虑到科学与数学实际上并不需要集合论，蒯因-普特南不可替代性论点是否成功地为集合论柏拉图主义提供正当性？
• RQ4 是否存在充分的哲学理由相信ZFC仅证明真实的数论命题，特别是那些在预设性系统中不可证的命题？
• RQ5 集合论能否在无柏拉图主义的前提下被理解与实践？若能，这是否削弱其作为基础的地位？

主要发现

• 所有主流数学，包括科学中使用的数学，均可在如CM系统等预设性系统中形式化，这些系统与ZFC一样优雅且实用。
• ZFC可能证明第一阶数论中的错误命题，特别是那些在预设性系统中不可证的命题，原因在于ZFC极可能缺乏具有标准ω的模型。
• 蒯因-普特南不可替代性论点之所以失败，是因为科学实际上不依赖集合论；科学中使用的数学本质上是数论型且预设性的。
• 当前实践中的集合论在本质上是形式主义的，无需柏拉图主义即可获得正当性，从而削弱了其形而上学基础的必要性。
• 集合的迭代概念依赖于物理主义隐喻（例如通过操作形成幂集），这些隐喻在应用于无限或不可数集合时是不一致的。
• 集合论中存在诸如连续统假设等不可判定问题，而数论中则无此类问题，这加剧了人们对集合论命题真值的普遍怀疑。