[论文解读] Islands in minor-closed classes. I. Bounded treewidth and separators

Zdenĕk Dvořák, Sergey Norin|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 20被引用 20

一句话总结

本文证明了可嵌入任意固定曲面的图的聚类色数恰好为四，证实了Esperet与Ochem的猜想。本文引入了极小闭图类中‘岛屿’的概念，并证明有界树宽与分离器性质可导出聚类着色与列表着色的紧致界，通过新颖的结构技术（基于着色数与渗流阈值）解决了长期悬而未决的猜想。

ABSTRACT

The clustered chromatic number of a graph class is the minimum integer $t$ such that for some $C$ the vertices of every graph in the class can be colored in $t$ colors so that every monochromatic component has size at most $C$. We show that the clustered chromatic number of the class of graphs embeddable on a given surface is four, proving the conjecture of Esperet and Ochem. Additionally, we study the list version of the concept and characterize the minor-closed classes of graphs of bounded treewidth with given clustered list chromatic number. We further strengthen the above results to solve some extremal problems on bootstrap percolation of minor-closed classes.

研究动机与目标

• 解决关于可嵌入固定曲面图的聚类色数为四的猜想。
• 表征有界树宽的极小闭图类在聚类列表色数方面的性质。
• 通过岛屿与渗流框架建立聚类着色数的紧致界。
• 通过将极小闭图类中的自展渗流结果与图的结构参数关联，强化相关结论。

提出的方法

• 引入图中t-岛屿的概念：非空子集S，其中S中每个顶点在S外的邻居数少于t个。
• 将聚类着色数col_C(G)定义为最小的t，使得G的每个非空子图均包含大小至多为C的t-岛屿。
• 通过图的大小进行归纳，证明χ^l_C(G) ≤ col_C(G)，将列表着色与岛屿的存在性联系起来。
• 将岛屿框架应用于极小闭图类，证明有界树宽可推出有界着色数。
• 通过t-渗流的抗性概念，建立p-着色数与聚类着色数之间的联系。
• 利用极值图构造，证明着色数的下界，尤其在外部平面图中。

实验结果

研究问题

• RQ1 可嵌入固定曲面的图类的聚类色数是多少？
• RQ2 在有界树宽的极小闭图类中，聚类列表色数与着色数之间有何关系？
• RQ3 是否可利用岛屿方法为极小闭图类导出聚类着色数的紧致界？
• RQ4 在极小闭图类中，着色数与聚类列表色数之间存在何种关系？
• RQ5 如树宽与分离器等结构性质，如何影响非正常着色中单色连通分量的出现？

主要发现

• 可嵌入任意固定曲面的图类的聚类色数恰好为四，证实了Esperet与Ochem的猜想。
• 对每个极小闭图类G，聚类着色数col_*(G)等于参数p(G)，后者衡量对t-渗流的抗性。
• 聚类列表色数χ^l_*(G)受着色数col_C(G)的限制，且该界在如下意义上是紧致的：存在某个C使得χ^l_*(G) ≤ col_C(G)。
• 在外平面图中，聚类列表色数为2，但着色数为3，表明χ^l_*(G) < col_*(G)是可能的。
• 本文证明了χ^l_*(X(K_t)) = t-1，证实了聚类列表着色版本的Hadwiger猜想的弱化形式。
• 岛屿方法提供了一套新颖且自包含的框架，用于证明聚类着色的界，其方法与以往基于分离器或树宽的方法截然不同。