[论文解读] Isocategorical groups

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki|ArXiv.org|Jul 31, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 34

一句话总结

本文引入了同类别有限群的概念——即其表示范畴作为张量范畴等价，即使群本身不同构。通过在特征2上的辛群上构造，证明了此类群的存在性，并利用群上同调与交换子群上的不变斜对称形式，对给定群的所有同类别群进行了分类。

ABSTRACT

It is well known that if two finite groups have the same symmetric tensor categories of representations over C, then they are isomorphic. We study the following question: when do two finite groups G1,G2 have the same tensor categories of representations over C (without regard for the commutativity constraint). We call two groups with such property isocategorical. We give an example of two groups which are isocategorical but not isomorphic: the affine symplectic group of a vector space over the field of two elements, and an appropriate "affine pseudosymplectic group" introduced by R.Griess (containing the "pseudosymplectic group" of A.Weil). On the other hand, we give a classification of groups isocategorical to a given group. In particular, we show that if G has no nontrivial normal subgroups of order 2^{2m} then any group isocategorical to G must actually be isomorphic to G. The proofs use the theory of triangular Hopf algebras. We also apply the notion of isocategorical groups to studying the question: when are two triangular semisimple Hopf algebras isomorphic as Hopf algebras?

研究动机与目标

• 研究有限群的表示范畴的张量结构是否唯一确定该群（同构意义下）。
• 确定介于格罗滕迪克环与完整张量范畴之间的中间结构，该结构仍能唯一确定群。
• 构造非同构但表示范畴作为张量范畴等价的有限群。
• 以群论语言分类所有与给定有限群同类别群。
• 建立群具有范畴刚性（即同类别蕴含同构）的条件。

提出的方法

• 将同类别群定义为表示范畴作为张量范畴等价的有限群，且不要求对称性保持。
• 使用一个阶为 $ 2^{2m} $ 的正规交换子群 $ A $，以及一个 $ G $-不变的斜对称同构 $ R: A^\flat \to A $，由此在 $ H^2(A^\flat, \mathbb{C}^*)^K $ 中诱导出一个类。
• 利用2-上链与上边界条件，构造一个同态 $ \tau: H^2(A^\flat, \mathbb{C}^*)^K \to H^2(K, A) $。
• 通过定义新群乘法 $ \gamma_1 * \gamma_2 := \tilde{b}(\bar{\gamma}_1, \bar{\gamma}_2) \gamma_1 \gamma_2 $（其中 $ \tilde{b} $ 由 $ \tau $ 导出），构造群 $ G_b $。
• 证明 $ G_b $ 与 $ G $ 之间存在表示范畴的张量等价，从而 $ G_b $ 与 $ G $ 同类别。
• 利用在 $ Y $ 上的函数空间上的韦伊表示，证明 $ \mathrm{APs}(V) $ 允许小维数的项目化表示，而 $ \mathrm{ASp}(V) $ 不允许，从而证明二者不同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个非同构的有限群能否具有作为张量范畴等价的表示范畴？
• RQ2 哪些群论条件可对与给定有限群同类别群进行分类？
• RQ3 在何种条件下群具有范畴刚性（即同类别蕴含同构）？
• RQ4 尽管 $ \mathrm{APs}(V) $ 与 $ \mathrm{ASp}(V) $ 的表示范畴同类别，是否存在小维数的项目化表示可将其区分开？
• RQ5 韦伊表示如何延拓至 $ \mathrm{APs}(V) $？这对其群结构有何含义？

主要发现

• 存在非同构的有限群 $ G $ 与 $ G_b $，其表示范畴作为张量范畴等价，从而构成对“张量范畴结构唯一确定群”这一观点的反例。
• 群 $ G_b = \mathrm{APs}(V) $，作为在特征2域上 $ \mathrm{Sp}(V) $ 对 $ V $ 的非平凡扩张，与 $ G = \mathrm{Sp}(V) \ltimes V $ 同类别，但不同构。
• 伪辛群 $ \mathrm{Ps}(V) $ 的韦伊表示可延拓至 $ \mathrm{APs}(V) $，但不可延拓至 $ \mathrm{ASp}(V) $，从而推出 $ \mathrm{APs}(V) \not\cong \mathrm{ASp}(V) $。
• 所有与给定群 $ G $ 同类别群均可通过一个上同调构造进行分类：涉及一个阶为 $ 2^{2m} $ 的正规交换子群 $ A $，一个 $ G $-不变的斜对称同构 $ R: A^\vee \to A $，以及关联类 $ \tau(\bar{R}) \in H^2(K, A) $。
• 有限群具有范畴刚性当且仅当其不包含阶为 $ 2^{2m} $ 的正规交换子群 $ A $，且存在 $ G $-不变的斜对称同构 $ A^\vee \to A $，这解释了为何四元数群是刚性的。
• 当 $ \dim(Y) \geq 4 $ 时，$ \mathrm{Sp}(V) $ 与 $ \mathrm{ASp}(V) $ 均无非平凡的维数为 $ 2^{\dim(Y)} $ 的项目化表示，但 $ \mathrm{APs}(V) $ 有，从而证明二者不同构，并表明张量等价性不扩展至项目化表示。