[论文解读] Isogenies of supersingular elliptic curves over finite fields and operations in elliptic cohomology

Andrew Baker|ArXiv.org|Dec 12, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文建立了一套框架，将有限域上超奇异椭圆曲线的同源映射与超奇异椭曲面上同调中的稳定运算联系起来。通过用同源映射和丰富同源范畴中的态射来建模运算，本文给出了一个概念上简洁的证明，证明了椭曲面上同调中类似于莫拉瓦换环定理的版本，并给出了运算的显式模型，同时将结果与罗伯特关于超奇异模形式环上Hecke代数结构的研究联系起来。

ABSTRACT

We investigate stable operations in supersingular elliptic cohomology using isogenies of supersingular elliptic curves over finite fields. Our main results provide a framework in which we give a conceptually simple proof of an elliptic cohomology version of the Morava change of rings theorem and also gives models for explicit stable operations in terms of isogenies and morphisms in certain enlarged isogeny categories. We relate our work to that of G. Robert on the Hecke algebra structure of the ring of supersingular modular forms.

研究动机与目标

• 开发一个基于有限域上超奇异椭圆曲线同源映射的超奇异椭曲面上同调稳定运算的理论框架。
• 提供一个自包含的、概念上简洁的证明，证明椭曲面上同调中类似莫拉瓦换环定理的版本。
• 通过扩大同源范畴中的态射与同源映射，构建稳定运算的显式模型。
• 将结果与罗伯特关于超奇异模形式环上Hecke代数结构的研究联系起来。
• 阐明同源映射与自同态在素数 p ≥ 5 时超奇异椭圆上同调结构中的作用。

提出的方法

• 本文使用定义在 𝔽̄_p 上的定向椭圆曲线，配备一个处处非零的不变1-形式，来定义抽象定向椭圆曲线的范畴。
• 建立了带有标准1-形式的Weierstrass型三次曲线范畴与抽象定向椭圆曲线范畴之间的等价关系，从而可使用标准Weierstrass模型。
• 通过度为 d 的同源映射 φ: (ℰ,ω) → (ℰ′,ω′) 来建模稳定运算，其关联元素 α^φ 属于一个扩大同源范畴。
• 本文通过在所有度为 d 的可分同源映射上对称化，构造了 ℤ/pℤ-线性映射 α^d_*: Γ₀^ss,* → Eℓℓ_*^ss。
• 应用罗伯特关于Hecke算子与Eisenstein级数的结果，分析 Eℓℓ_*^ss 的全纯部分作为 Hecke 代数 H_p 上的模。
• 该框架整合了对称化同源运算，以在对偶Steenrod代数的余模上定义稳定上同调运算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过有限域上超奇异椭圆曲线的同源映射显式建模超奇异椭曲面上同调中的稳定运算？
• RQ2 同源范畴与椭曲面上同调中莫拉瓦换环定理之间在概念上存在何种关系？
• RQ3 超奇异模形式环上的Hecke代数结构与椭曲面上同调中稳定运算的结构之间有何关联？
• RQ4 Eisenstein模 Ei_k 在什么条件下嵌入到超奇异模形式环 Eℓℓ_*^ss 中？
• RQ5 在何种条件下，具有特定自同态环的超奇异曲线在 𝔽_p 上存在，且其自同态与 j-不变量起着决定性作用？

主要发现

• 本文通过基于同源映射的运算，提供了一个概念上简洁的证明，证明了椭曲面上同调中类似莫拉瓦换环定理的版本。
• 通过固定度 d 的对称化同源映射，显式构造了超奇异椭曲面上同调中的稳定运算，从而得到从 Γ₀^ss,* 到 Eℓℓ_*^ss 的 H_p-线性映射。
• 当 k 为偶数且 p ≥ 5 时，Eisenstein 模 Ei_k 嵌入 Eℓℓ_*^ss 当且仅当 n ≡ k mod (p²−1) 或 n ≡ pk mod (p²−1)。
• 平凡模 Ei_0 恰好出现在满足 (p²−1) 整除 2n 的度数 2n 处，对应于上同调环的全纯部分。
• 对于素数 p > 11，存在定义在 𝔽_p 上的超奇异椭圆曲线，其 j-不变量不为 0 或 1728，且其自同态环包含 ℚ(√−p) 的最大整环。
• 该框架将稳定运算实现为扩大同源范畴中的态射，为基于同源数据的上同调运算提供了几何解释。