[论文解读] Isogeny graphs of superspecial abelian varieties and generalized Brandt matrices

Bruce W. Jordan, Yevgeny Zaytman|arXiv (Cornell University)|May 18, 2020

Advanced Algebra and Geometry被引用 7

一句话总结

本文研究特征为 $p$ 的 $g$-维主极化超特殊阿贝尔簇的 $(\ell)^g$-同源图，通过强逼近定理证明其连通性。研究表明，这些图通常不是拉马努金图，并将它们的邻接矩阵识别为广义布兰特矩阵，将经典理论从椭圆曲线推广至高维情形。

ABSTRACT

Fix primes $p$ and $\ell$ with $\ell eq p$. If $(A,P)$ is a principally polarized abelian variety, an $(\ell)^g$-isogeny of $(A,P)$ has kernel a maximal isotropic subgroup of the $\ell$-torsion of $A$; the image has a natural principal polarization. It is well known that the $\ell$-isogeny graph for supersingular elliptic curves in characteristic $p$ is connected and Ramanujan. Its adjacency matrix is the Brandt matrix $B(\ell)$ for the definite quaternion algebra $\mathbb{H}=\mathbb{H}_{p,\infty}$ ramified at $p$ and $\infty$. In this paper we study the dimension-$g$ analogue: the $(\ell)^g$-isogeny graphs of dimension-$g$ principally polarized superspecial abelian varieties in characteristic $p$. We prove using Strong Approximation that these graphs are connected. We then give an example to show that these graphs are not in general Ramanujan. The adjacency matrix of these $(\ell)^g$-isogeny graphs is a generalized Brandt matrix as defined by Ihara, Hashimoto, and Ibukiyama. We study some basic properties of these matrices.

研究动机与目标

• 将 $\ell$-同源图理论从超奇异椭圆曲线推广至高维超特殊阿贝尔簇。
• 研究 $g \geq 2$ 维下 $(\ell)^g$-同源图的连通性与谱性质。
• 将这些图的邻接矩阵表征为伊哈拉、桥本与猪熊所定义的广义布兰特矩阵。
• 确定这些高维同源图是否保持类似于经典情形的拉马努金性质。

提出的方法

• 利用定 definite 四元数代数 $\mathbb{H}_{p,\infty}$ 上乘法群的强逼近定理，本文证明了 $(\ell)^g$-同源图的连通性。
• 邻接矩阵被识别为广义布兰特矩阵，将经典布兰特矩阵构造从一维情形推广至高维情形。
• 研究利用超特殊阿贝尔簇的 $\ell$-挠子群中的极大迷向子群结构，以定义 $(\ell)^g$-同源。
• 分析这些广义布兰特矩阵的谱性质，以评估图是否为拉马努金图。
• 构造了一个具体反例，表明即使 $g > 1$，$(\ell)^g$-同源图也并非一般为拉马努金图。
• 分析依赖于定 definite 四元数代数及其阶的已知结果，特别是与超特殊阿贝尔簇的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $g > 1$ 时，特征为 $p$ 的 $g$-维超特殊阿贝尔簇的 $(\ell)^g$-同源图是否连通？
• RQ2 这些高维同源图是否满足拉马努金性质，即其特征值是否位于拉马努金图的谱半径范围内？
• RQ3 这些图的邻接矩阵与伊哈拉、桥本与猪熊所定义的广义布兰特矩阵有何关系？
• RQ4 能否将椭圆曲线的布兰特矩阵经典理论推广至 $g \geq 2$ 维阿贝尔簇？
• RQ5 在超特殊阿贝尔簇的背景下，这些广义布兰特矩阵具有何种结构性质？

主要发现

• 通过强逼近定理，证明了特征为 $p$ 的 $g$-维超特殊阿贝尔簇的 $(\ell)^g$-同源图是连通的。
• 这些图的邻接矩阵是伊哈拉、桥本与猪熊意义上的广义布兰特矩阵。
• 通过一个具体反例表明，这些图并非一般为拉马努金图，即使 $g > 1$ 亦然。
• 分析了广义布兰特矩阵的谱性质，表明在高维情形下拉马努金界不成立。
• $(\ell)^g$-同源的构造依赖于阿贝尔簇 $\ell$-挠子群中的极大迷向子群，且在像上保持主极化。
• 结果将超奇异椭圆曲线 $\ell$-同源图的经典理论推广至高维阿贝尔簇，揭示了谱行为的关键差异。