[论文解读] Isogeometric analysis with $C^1$ functions on unstructured quadrilateral meshes

Mario Kapl, Giancarlo Sangalli+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2018

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于分析相容的 $G^1$ 多子域参数化方法，用于在非结构化四边形网格上构建 $C^1$-光滑等几何样条空间，从而实现四阶PDE的最优伽辽金离散化。通过在奇异顶点附近增强样条函数，该方法进一步扩展至非分析相容的 $G^1$ 几何结构，在数值实验中实现了最优收敛率。

ABSTRACT

In the context of isogeometric analysis, globally $C^1$ isogeometric spaces over unstructured quadrilateral meshes allow the direct solution of fourth order partial differential equations on complex geometries via their Galerkin discretization. The design of such smooth spaces has been intensively studied in the last five years, in particular for the case of planar domains, and is still task of current research. In this paper, we first give a short survey of the developed methods and especially focus on the approach [26]. There, the construction of a specific $C^1$ isogeometric spline space for the class of so-called analysis-suitable $G^1$ multi-patch parametrizations is presented. This particular class of parameterizations comprises exactly those multi-patch geometries, which ensure the design of $C^1$ spaces with optimal approximation properties, and allows the representation of complex planar multi-patch domains. We present known results in a coherent framework, and also extend the construction to parametrizations that are not analysis-suitable $G^1$ by allowing higher-degree splines in the neighborhood of the extraordinary vertices and edges. Finally, we present numerical tests that illustrate the behavior of the proposed method on representative examples.

研究动机与目标

• 在非结构化的平面多子域上构建全局 $C^1$-光滑等几何空间，以实现四阶PDE的直接伽辽金求解。
• 解决在具有奇异顶点的复杂非结构化四边形网格中，跨子域界面构造 $C^1$-光滑样条的挑战。
• 通过在奇异顶点附近允许更高次样条，将现有 $C^1$ 构造方法扩展至超越分析相容的 $G^1$ 参数化。
• 通过代表性多子域上的数值验证，确认该方法在求解biharmonic方程及相关PDE时具有最优收敛率。

提出的方法

• 利用 $C^1$-光滑等几何函数与 $G^1$-光滑图曲面之间的等价性，以在子域界面处强制实现全局 $C^1$ 连续性。
• 应用分析相容的 $G^1$ 多子域参数化框架，该框架可确保最优逼近性质，并支持复杂平面域的表示。
• 通过在奇异顶点和边附近局部提高样条次数，将构造方法扩展至非分析相容的 $G^1$ 几何结构。
• 采用改进的空建构造方法，在高次区域降低次数，以最小化高次单元的数量，尽管导致非嵌套空间。
• 对biharmonic方程实施标准伽辽金离散化，并通过 $L^2$ 投影精确施加狄利克雷和诺伊曼边界条件。
• 采用 $h = 1/4, 1/8, 1/16, 1/32$ 的数值网格细化研究，验证多项式次数 $p = 3$ 和 $p = 4$ 时的收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有奇异顶点的非结构化四边形网格上构建 $C^1$-光滑等几何空间，同时保持最优逼近性质？
• RQ2 为将 $C^1$ 构造方法扩展至超越分析相容的 $G^1$ 参数化，需对一般多子域几何结构进行哪些修改？
• RQ3 在求解如biharmonic方程等四阶PDE时，所得 $C^1$ 等几何空间的收敛行为如何？
• RQ4 在奇异顶点附近进行局部次数增强，如何影响离散空间的条件数和逼近质量？
• RQ5 尽管由于次数降低导致空间非嵌套，该方法是否仍能保持最优收敛率？

主要发现

• 在测试的 AS-$G^1$ 多子域几何结构上，该方法在 $L^2$-范数下达到 $\mathcal{O}(h^{p+1})$ 的最优收敛率，$H^1$-范数下为 $\mathcal{O}(h^p)$，$H^2$-范数下为 $\mathcal{O}(h^{p-1})$，且对 $p=3$ 和 $p=4$ 均成立。
• 数值结果证实，通过扩展方法构建的 $C^1$ 等几何空间即使在非分析相容的 $G^1$ 参数化下，仍保持最优逼近性质。
• 在奇异顶点附近使用更高次样条，可实现复杂几何结构中跨界面的 $C^1$ 连续性，而标准方法在此类情形下会失效。
• 该空间构造导致因次数降低而形成非嵌套的离散空间族，但各细化级别间的收敛性仍保持最优。
• 该方法成功实现了biharmonic方程的伽辽金离散化，对于所选测试用例，精确解可恢复至机器精度。