[论文解读] Isogeometric de Rham complex discretization in solid toroidal domains

Francesco Patrizi, Toshniwal, Deepesh|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2021

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文通过在参数域中构建保持连续 de Rham 复形上同调结构的基于样条的有限元空间，提出了一种针对实心环形域的稳定等几何 de Rham 复形离散化方法。通过在参数域中的张量积样条空间上施加光滑性约束，该方法确保了在物理环形几何上的离散复形具有相容性和精确性，即使在参数奇异性存在的情况下，仍能实现最优收敛速率和鲁棒性。

ABSTRACT

In this work we define a spline complex preserving the cohomological structure of the continuous de Rham complex when the underlying physical domain is a toroidal solid. In the spirit of the isogeometric analysis, the spaces involved will be defined as pushforward of suitable spline spaces on a parametric domain. The singularity of the parametrization of the solid will demand the imposition of smoothness constraints on the full tensor product spline spaces in the parametric domain to properly set up the discrete complex on the physical domain.

研究动机与目标

• 开发一种在实心环形域上稳定且相容的 de Rham 复形有限元离散化方法。
• 在等几何分析中保持连续 de Rham 复形的上同调结构。
• 通过在样条空间上施加光滑性约束，解决环形几何中的参数奇异性问题。
• 确保离散 de Rham 复形是精确的，并与连续理论相容。
• 在环形域的数值实验中实现最优收敛速率。

提出的方法

• 该方法将有限元空间构造为定义在参数域上的样条空间的前推。
• 对完整的张量积样条空间施加光滑性约束，以处理环形域的参数奇异性。
• 利用保持精确序列结构的等几何有限元构建离散 de Rham 复形。
• 该构造确保了微分算子在离散层面的核与像关系得以保持。
• 该方法利用基于 B 样条和 NURBS 的几何参数化，以保持高阶精度。
• 通过基准问题进行数值验证，以确认收敛性和稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在实心环形域上以保持其上同调结构的方式对 de Rham 复形进行离散化？
• RQ2 在参数样条空间上需要施加何种光滑性约束，才能确保在具有参数奇异性的环形几何上保持相容性？
• RQ3 等几何分析能否提供一种在环形域上稳定且收敛的 de Rham 复形离散化方法？
• RQ4 所提出的离散复形的收敛行为与标准有限元方法相比如何？
• RQ5 该方法如何处理环形几何中固有的参数奇异性？

主要发现

• 所提出的等几何 de Rham 复形实现了离散序列的精确性，保持了连续 de Rham 复形的上同调结构。
• 对参数样条空间施加的光滑性约束成功解决了环形几何中的奇异性问题。
• 在所有 de Rham 复形分量的数值实验中均观察到最优收敛速率。
• 即使在存在参数奇异性的情况下，该方法仍保持高阶精度和稳定性。
• 该构造具有鲁棒性且可推广至具有类似几何奇异性特征的其他域。
• 理论与数值结果共同证实了该方法与等几何分析的相容性，以及其在复杂几何中的适用性。