[论文解读] Isolated initial singularities for the viscous Hamilton-Jacobi equation

Bidaut-Véron, Marie-Françoise, Nguyen Anh Dao|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 3

一句话总结

本文建立了在 $\mathbb{R}^N$ 或有界区域中，当 $q \geq q_* = (N+2)/(N+1)$ 时，黏性哈密顿-雅可比方程 $u_t - \Delta u + |\nabla u|^q = 0$ 的孤立初始奇点的可移除性。对于 $1 < q < q_*$，证明了非常奇异解（VSS）的存在性与唯一性，并根据初始数据在原点的集中程度，完全分类了所有非负弱解，表明它们要么恒为零，要么为 VSS，要么为初始数据为 $k\delta_0$（$k>0$）的解。其主要贡献在于为这一类非线性抛物方程的初始奇点提供了完整的解结构。

ABSTRACT

Here we study the nonnegative solutions of the viscous Hamilton-Jacobi equation [u_{t}-\\Delta u+|\ abla u|^{q}=0] in $Q_{\\Omega,T}=\\Omega\ imes(0,T),$ where $q&gt;1,T\\in(0,\\infty] ,$ and $\\Omega$ is a smooth bounded domain of $\\mathbb{R}% ^{N}$ containing $0,$ or $\\Omega=\\mathbb{R}^{N}.$ We consider solutions with a possible singularity at point $(x,t)=(0,0).$ We show that if $q\\geq q_{\\ast}=(N+2)/(N+1)$ the singularity is removable.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：当 $1 < q < q_* = (N+2)/(N+1)$ 时，黏性哈密顿-雅可比方程的非常奇异解（VSS）的存在性与唯一性。
• 在 $q \geq q_*$ 时，建立 $(0,0)$ 处孤立初始奇点的可移除性，将经典半线性方程的结果推广至梯度非线性情形。
• 在有界区域 $\Omega$ 中，对具有原点处初始奇点的狄利克雷问题，提供所有非负弱解的完整分类。
• 通过识别三种可能的解类型——零解、VSS 或初始数据为 $k\delta_0$ 的解——统一描述 $\mathbb{R}^N$ 与有界区域中的解。

提出的方法

• 引入 $L^1_{\text{loc}}$ 和 $L^q$-梯度可积性的弱解概念，满足方程的分布意义下的定义。
• 建立通用估计与正则性结果，通过能量与比较技术证明当 $q \leq 2$ 时具有 $C^{2,1}$-光滑性。
• 构造上解 $Y_\eta^\Omega$ 和 $Y_\eta$ 作为屏障，以控制奇点附近与无穷远处的解。
• 在收缩区域中应用比较原理，并通过近似初始数据 $k\rho_\varepsilon$ 的方法取极限。
• 利用迹结果与 $Y_\eta^\Omega$ 关于 $\eta \to 0$ 的收敛性，证明极大 VSS $Y^\Omega$ 的存在性，并通过极值比较证明唯一性。
• 通过取初始数据为 $k\delta_0$ 的解在 $k \to \infty$ 时的极限，定义并刻画极大非常奇异解 $U^\Omega$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $1 < q < q_*$ 时，在 $\mathbb{R}^N$ 和有界区域 $\Omega$ 中，是否存在唯一的非常奇异解？
• RQ2 当 $q \geq q_*$ 时，$(0,0)$ 处的孤立初始奇点是否可移除，即每个解是否都能光滑延拓至 $t=0$？
• RQ3 在 $Q_{\Omega,\infty}$ 中具有原点处初始奇点的狄利克雷问题的所有非负弱解的完整结构是什么？
• RQ4 有界区域中的极大非常奇异解是否可表征为具有紧支集初始数据的解的逐点极限？

主要发现

• 当 $q \geq q_* = (N+2)/(N+1)$ 时，任意满足 $\lim_{t\to 0}\int_\Omega u(\cdot,t)\varphi\,dx = 0$ 对所有 $\varphi \in C_c(\Omega \setminus \{0\})$ 成立的非负解，在 $t=0$ 处均为光滑的，即奇点可移除。
• 当 $1 < q < q_*$ 时，在有界区域 $\Omega$ 中，存在唯一的非常奇异解 $U^\Omega$ 在 $Q_{\Omega,\infty}$ 上，满足对所有 $r>0$ 有 $\lim_{t\to 0}\int_{B_r} u(\cdot,t)\,dx = \infty$。
• 在有界区域中，狄利克雷问题的所有非负弱解要么恒为零，要么等于极大非常奇异解 $U^\Omega$，要么等于初始数据为 $k\delta_0$（$k>0$）的解 $u^{k,\Omega}$。
• 在有界区域 $\Omega$ 中，极大非常奇异解 $Y^\Omega$ 是 $Y_\eta^\Omega$ 关于 $\eta \to 0$ 的逐点极限，且满足 $Y^\Omega \leq Y$，其中 $Y$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的 VSS。
• 通过比较法证明了 VSS $U^\Omega$ 的唯一性：任意 VSS $u$ 满足 $u \leq Y^\Omega$，且 $Y^\Omega$ 是最小的此类上解，因此 $u = Y^\Omega$。
• 在 $\mathbb{R}^N$ 中，解的结构已完全分类：任意解要么为零，要么为 VSS $U$，要么为初始数据为 $k\delta_0$（$k>0$）的解，且每一类中解均唯一。