[论文解读] Isolated singularities of hypersurfaces

Rustam Sadykov, Trunov, Stanislav|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2022

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 5

一句话总结

本文研究了光滑函数在流形上的孤立临界点周围是否存在柱状球邻域，证明了对于锥形、合理以及Rothe H-假设临界点——这些关键类包括了所有非无限非退化的点——此类邻域确实存在。主要贡献在于提出一种构造方法，表明即使非锥形临界点（如Takens函数的临界点）也能拥有柱状球邻域，这意味着它们在拓扑上可被移除。

ABSTRACT

Introduced by Seifert and Threlfall, cylindrical neighborhoods is an essential tool in the Lusternik-Schnirelmann theory. We conjecture that every isolated critical point of a smooth function admits a cylindrical ball neighborhood. We show that the conjecture is true for cone-like critical points, Cornea reasonable critical points, and critical points that satisfy the Rothe H hypothesis. In particular, the conjecture holds true at least for those critical points that are not infinitely degenerate.

研究动机与目标

• 研究光滑函数的每个孤立临界点是否都存在柱状球邻域。
• 验证猜想1：每个孤立临界点都存在柱状球邻域。
• 根据其几何与拓扑性质对临界点进行分类，特别是锥形相似性与Rothe H-假设。
• 确定非锥形临界点在喷射空间中的普遍性。
• 表明某些非锥形临界点（例如Takens函数的临界点）仍可拥有柱状球邻域，暗示其具有拓扑可移除性。

提出的方法

• 利用梯度向量场轨迹，在函数的下水平集内构造柱状邻域。
• 对梯度向量场应用光滑同伦，将邻域形变至长方体柱状结构。
• 采用保持横截性的向量场同伦，并确保环形区域内的垂直性。
• 通过逆轨迹映射，从柱状邻域构造到球与区间乘积的微分同胚。
• 利用在维度≠4,5时同胚球即微分同胚的性质，并在维度4和5中应用环境同伦以解决野弧问题。
• 应用奇点理论与喷射空间几何的结果，表明非锥形临界点构成无限余维的集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个光滑函数的孤立临界点是否都存在柱状球邻域？
• RQ2 满足Rothe H-假设的临界点是否保证存在柱状球邻域？
• RQ3 非锥形临界点是否仍可拥有柱状球邻域，若可以，其条件为何？
• RQ4 在所有喷射空间中，具有非锥形临界点的喷射集合的余维数是多少？
• RQ5 Takens函数的临界点是否可被移除，即能否通过扰动消除临界点，同时在邻域外保持函数不变？

主要发现

• 所有锥形临界点均存在柱状球邻域，该结论通过梯度流与同伦技术得到证明。
• 所有合理临界点（Cornea意义下）均存在柱状球邻域，因为其属于锥形类。
• 所有满足Rothe H-假设的临界点均存在柱状球邻域，该结论通过横截性与向量场形变方法得出。
• 具有非锥形临界点的喷射集合在所有喷射空间中具有无限余维，表明此类点极为稀少。
• 存在非锥形临界点（如Takens函数的临界点）仍可拥有微分同胚于球的柱状邻域，证明了猜想不仅适用于锥形点。
• Takens函数的临界点在拓扑上可被移除：可通过扰动消除临界点，同时在邻域外保持函数不变。