[论文解读] Isometric deformations of wave fronts at non-degenerate singular points

Atsufumi Honda, Kosuke Naokawa+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 13被引用 10

一句话总结

本文建立了一项准则，用于通过一致切丛将实解析的 Kossowski 度量实现为具有特定奇点（尖点棱、燕尾或尖点十字帽）的波前。证明了在非抛物型半正定点处，若给定一条曲率线上主曲率函数，则存在唯一的等距波前局部芽，且若该曲线为测地线，则其特殊测地线位于平面内。

ABSTRACT

Cuspidal edges and swallowtails are typical non-degenerate singular points on wave fronts in the Euclidean $3$-space. Their first fundamental forms belong to a class of positive semi-definite metrics called "Kossowski metrics". A point where a Kossowski metric is not positive definite is called a singular point or a semi-definite point of the metric. Kossowski proved that real analytic Kossowski metric germs at their non-parabolic singular points(the definition of "non-parabolic singular point" is stated in the introduction here) can be realized as wave front germs (Kossowski's realization theorem). On the other hand, in a previous work with K. Saji, the third and the fourth authors introduced the notion of "coherent tangent bundle". Moreover, the authors, with M. Hasegawa and K. Saji, proved that a Kossowski metric canonically induces an associated coherent tangent bundle. In this paper, we shall explain Kossowski's realization theorem from the viewpoint of coherent tangent bundles. Moreover, as refinements of it, we give a criterion that a given Kossowski metric can be realized as the induced metric of a germ of cuspidal edge (resp. swallowtail or cuspidal cross cap). Several applications of these criteria are given. Also, some remaining problems on isometric deformations of singularities of analytic maps are given at the end of this paper.

研究动机与目标

• 通过一致切丛重述 Kossowski 的实现定理，以适用于 Kossowski 度量。
• 为将 Kossowski 度量实现为尖点棱、燕尾或尖点十字帽局部芽的第一基本形式提供一个准则。
• 研究保持奇点像与第一基本形式不变的波前等距变形。
• 解决关于燕尾与十字帽等距变形的开放问题，特别是形式解的存在性与收敛性。

提出的方法

• 利用一致切丛理论，将 Kossowski 度量与波前结构进行自然关联。
• 应用隐函数定理，对非退化奇点处的奇点曲线进行参数化。
• 对带符号面积密度函数 λ 及其梯度施加条件，以确保非退化性。
• 通过求解由第一基本形式与曲率线条件导出的偏微分方程组，构造局部等距浸入 f: U → ℝ³。
• 使用经调整的局部坐标，使得 f_v(p) = 0，以简化对奇点的分析。
• 应用条件 e^ω(t) < m_p，以确保主曲率有界且为实解析函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非抛物型半正定点处，给定的实解析 Kossowski 度量局部芽能否被实现为尖点棱局部芽的第一基本形式？
• RQ2 在非抛物型 A₃ 点处，是否存在一个燕尾波前，其奇点像与给定的 Kossowski 度量局部芽相匹配？
• RQ3 在燕尾奇点处是否存在一条特殊测地线？该测地线是否位于一个平面内？
• RQ4 实解析的 Whitney 度量能否被实现为十字帽局部芽的第一基本形式？
• RQ5 关于十字帽等距变形的形式幂级数解是否收敛于实际的实解析解？

主要发现

• 在非抛物型半正定点处，实解析的 Kossowski 度量局部芽可唯一实现为尖点棱、燕尾或尖点十字帽的等距波前局部芽。
• 若特征曲线 γ 为特殊测地线，则其像 f∘γ 位于一个平面内，如参数化中 μ(u) = 0 所示。
• 对于沿曲率线给定的主曲率函数 e^ω(t) < m_p，存在唯一的波前共形类。
• 已证明存在可控制奇点像的尖点棱与尖点十字帽的等距变形。
• 尽管形式解可对任意阶存在，但燕尾奇点处是否存在特殊测地线仍为开放问题。
• 关于十字帽实现的形式幂级数解存在，但其收敛性尚未得到证明。