[论文解读] Isometric Rigidity of compact Wasserstein spaces

Jaime Santos-Rodríguez|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 1

一句话总结

本文通过证明当 $ M $ 为紧致的秩一对称空间（CROSS）或具有严格正截面曲率时，$ \mathcal{P}_p(M) $ 的等距同构仅由基流形 $ M $ 的等距同构导出，建立了紧致 Wasserstein 空间在 Riemann 流形上的等距刚性。关键结果是 $ \mathcal{P}_p(M) $ 的等距群与 $ M $ 的等距群完全一致，其证明基于 Dirac delta 在等距同构下保持不变，并利用了非分支、正曲率空间中最优传输的结构性质。

ABSTRACT

Let $(X,d,\mathfrak{m})$ be a metric measure space. The study of the Wasserstein space $(\mathbb{P}_p(X),\mathbb{W}_p)$ associated to $X$ has proved useful in describing several geometrical properties of $X.$ In this paper we focus on the study of isometries of $\mathbb{P}_p(X)$ for $p \in (1,\infty)$ under the assumption that there is some characterization of optimal maps between measures, the so called Good transport behaviour $GTB_p$. Our first result states that the set of Dirac deltas is invariant under isometries of the Wasserstein space. Additionally we obtain that the isometry groups of the base Riemannian manifold $M$ coincides with the one of the Wasserstein space $\mathbb{P}_p(M)$ under assumptions on the manifold; namely, for $p=2$ that the sectional curvature is strictly positive and for general $p\in (1,\infty)$ that $M$ is a Compact Rank One Symmetric Space.

研究动机与目标

• 确定紧致度量测度空间 $ M $ 上的 $ L^p $-Wasserstein 空间 $ \mathcal{P}_p(M) $ 的等距同构是否仅由基空间 $ M $ 的等距同构导出。
• 在曲率与结构假设下，建立等距刚性，即 $ \mathrm{Iso}(M) = \mathrm{Iso}(\mathcal{P}_p(M)) $。
• 研究 $ \mathcal{P}_p(M) $ 的等距同构下 Dirac delta 测度的不变性，作为实现刚性的基础步骤。
• 将已知的欧氏空间与 Hadamard 空间中的刚性结果推广至紧致、正曲率的 Riemann 流形。
• 利用最优传输几何与非分支空间中良好的传输行为（GTBp）下的循环单调性，刻画 $ \mathcal{P}_p(M) $ 中等距同构的结构。

提出的方法

• 在 $ p \in (1, \infty) $ 且满足良好传输行为（GTBp）的假设下，证明任意 $ \mathcal{P}_p(X) $ 的等距同构 $ \Phi $ 保持 Dirac delta 集合 $ \Delta_1 $。
• 利用最优传输计划的 $ p $-循环单调性结构，以及紧致空间中距离的极大性，约束测度像的支集。
• 对流形 $ M $ 的维数进行归纳，利用 CROSS 中点的切点集为低维 CROSS 或点这一事实。
• 构造辅助测度 $ \nu_0 $、$ \nu_1 $，其支集分别位于球面与切点集上，使得给定测度 $ \mu $ 位于 $ \mathcal{P}_p(M) $ 中连接它们的测地线内部。
• 利用等距同构保持测地线及其内点的性质，证明支集在多个球面上的测度的像必须位于相同的球面上。
• 最终得出 $ \Phi $ 在 $ \mathcal{P}_p(M) $ 的稠密子集（如有限支集测度）上作用平凡，因此 $ \Phi $ 在整个 $ \mathcal{P}_p(M) $ 上必为恒等映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个 $ \mathcal{P}_p(M) $ 的等距同构都源于基流形 $ M $ 的等距同构？
• RQ2 对于满足 GTBp 的紧致度量测度空间，$ \mathcal{P}_p(M) $ 的等距同构是否保持 Dirac delta 集合不变？
• RQ3 当 $ M $ 为紧致的秩一对称空间（CROSS）或具有正截面曲率的闭 Riemann 流形时，能否在 $ \mathcal{P}_p(M) $ 上建立等距刚性？
• RQ4 最优传输的结构性质（如循环单调性与支集行为）如何约束 $ \mathcal{P}_p(M) $ 上等距同构的作用？
• RQ5 在紧致、非分支空间中，切点集在刻画 $ \mathcal{P}_p(M) $ 的等距同构中起什么作用？

主要发现

• 对于满足 GTBp 的紧致度量测度空间 $ (X,d,m) $ 及 $ p \in (1, \infty) $，任意 $ \mathcal{P}_p(X) $ 的等距同构 $ \Phi $ 保持 Dirac delta 集合 $ \Delta_1 $ 不变。
• 对于具有严格正截面曲率的闭 Riemann 流形 $ M $，$ \mathcal{P}_2(M) $ 的等距群与 $ \mathrm{Iso}(M) $ 一致，从而在 $ p=2 $ 时确立了等距刚性。
• 对于任意 $ p \in (1, \infty) $，若 $ M $ 为紧致的秩一对称空间（CROSS），则 $ \mathrm{Iso}(M) = \mathrm{Iso}(\mathcal{P}_p(M)) $，从而在该类空间上完全证明了等距刚性。
• $ \mathcal{P}_p(M) $ 的等距同构保持测度的支集结构：若一测度支集位于某点为中心的有限个球面的并集上，则其像的支集也位于相同的球面上。
• $ \Phi $ 在所有有限支集概率测度上作用平凡，且由于这些测度在 $ \mathcal{P}_p(M) $ 中稠密，因此 $ \Phi $ 必为 $ \mathcal{P}_p(M) $ 上的恒等映射。
• 证明依赖于在 $ \mathcal{P}_p(M) $ 中构造通过给定测度 $ \mu $ 的测地线，其端点支集于较简单集合（如点质量与切点集）上，从而实现对 $ \Phi(\mu) $ 的归纳控制。