[论文解读] Isometries of the Hilbert Metric

Timothy John Speer|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用 6

一句话总结

该论文证明，对于 ℝⁿ 中任意有界开凸域，其希尔伯特度量的等距同构群要么等于射影变换群，要么其指数至多为 2。关键结果是：除非以特定方式反向定向，否则等距同构必为射影变换；在二维情形下，等距的希尔伯特几何总是射影等价的。

ABSTRACT

On any convex domain in $\mathbb{R}^n$ we can define the Hilbert metric. A projective transformation is an example of an isometry of the Hilbert metric. In this thesis we will prove that the group of projective transformations on a convex domain has at most index 2 in the group of isometries of the convex domain with its Hilbert metric. Furthermore we will give criteria for which the set of projective transformations between two convex domains is equal to the set of isometries of the Hilbert metric of these convex domains. Lastly we will show that $2$-dimensional convex domains with their corresponding Hilbert metrics are isometric if and only if they are projectively equivalent.

研究动机与目标

• 确定 ℝⁿ 中一般凸域上希尔伯特度量等距同构群的结构。
• 解决 de la Harpe 关于 Isom(Ω) 是否恒为李群的猜想。
• 确立所有等距同构均为射影变换的条件。
• 通过射影等价性表征两个凸域何时为等距。
• 将关于对称锥、严格凸及多面体域的已知结果推广至一般凸域。

提出的方法

• 通过聚焦点与极小锥体刻画非射影等距同构。
• 利用交比与射影不变性，证明保持特定几何结构的等距同构必为射影变换。
• 应用极小锥体及其在等距同构下的行为概念，证明任意等距同构 τ 的 τ² 必为射影变换。
• 证明若存在两个非射影等距同构，则其复合必为射影变换，从而将等距同构群限制在 PGL(Ω) 的指数至多为 2 的范围内。
• 利用渐近几何与锥体结构，证明等距同构将锥体映射至锥体并保持极小锥体结构。
• 利用极端直线与极端点对等距同构行为的约束，尤其在低维情形下。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，希尔伯特度量的等距同构群等于射影变换群？
• RQ2 非射影等距同构是否存在？若存在，其结构需满足何种约束？
• RQ3 何时两个带有希尔伯特度量的凸域为等距？
• RQ4 希尔伯特几何的等距同构群是否恒为李群？
• RQ5 在二维情形下，等距的希尔伯特几何是否总是射影等价？

主要发现

• 对于任意 ℝⁿ 中的有界开凸域 Ω ⊂ R^n，希尔伯特度量的等距同构群 Isom(Ω) 包含 PGL(Ω) 作为指数至多为 2 的正规子群。
• 等距同构 τ: Ω → Ω′ 是射影变换当且仅当其具有聚焦点。
• 若凸域 Ω 包含一条极端直线，则从 Ω 到另一域的任一等距同构必为射影变换。
• 在二维情形下，两个凸域关于希尔伯特度量等距当且仅当它们是射影等价的。
• 对于非锥体的三维域，任一等距同构必为射影变换。
• 等距同构群 Isom(Ω) 恒为李群，证实了 de la Harpe 的一个猜想。