[论文解读] Isometry classes of generalized associahedra

Nantel Bergeron, Christophe Hohlweg+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用 16

一句话总结

本文对有限 Coxeter 系统中通过 $c$-Cambrian 锥体从排列多面体构造的广义 associahedra 的等距类进行了分类。证明了两个此类 associahedra 等距当且仅当它们的 Coxeter 元素通过保持权重参数 $\kappa_s$ 的 Coxeter 图自同构或通过最长元 $w_0$ 的逆变换相关联。该结果可推广至 Cambrian 锥体的等距分类。

ABSTRACT

Let $(W,S)$ be a finite Coxeter system acting by reflections on an $\mathbb R$-Euclidean space with simple roots $Δ=\{\a_s | s\in S\}$ of the same length and fundamental weights $Δ^*=\{v_s | s\in S\}$. We set $M(e)=\sum_{s\in S}κ_s v_s$, $κ_s>0$, and for $w\in W$ we set $M(w)=w(M(e))$. The permutahedron $Perm(W)$ is the convex hull of the set $\{M(w) | w\in W\}$. Given a Coxeter element $c\in W$, we have defined in a previous work a generalized associahedron $Asso_c(W)$ whose normal fan is the corresponding $c$-Cambrian fan $F_c$ defined by N. Reading. By construction, $Asso_c(W)$ is obtained from $Perm(W)$ by removing some halfspaces according to a rule prescribed by $c$. In this work, we classify the isometry classes of these realizations. More precisely, for $(W,S)$ an irreducible finite Coxeter system and $c,c'$ two Coxeter elements in $W$, we have that $Asso_{c}(W)$ and $Asso_{c'}(W)$ are isometric if and only if $μ(c') = c$ or $μ(c')=w_0c^{-1}w_0$ for $μ$ an automorphism of the Coxeter graph of $W$ such that $κ_s=κ_{μ(s)}$ for all $s\in S$. As a byproduct, we classify the isometric Cambrian fans of $W$.

研究动机与目标

• 对有限 Coxeter 系统中通过 $c$-Cambrian 锥体从排列多面体构造的广义 associahedra 的等距类进行分类。
• 在固定权重分配 $\kappa_s > 0$ 的前提下，确定两个此类 associahedra 何时等距。
• 将分类结果推广至 associahedra 的正常锥体，即 Cambrian 锥体。
• 刻画 Coxeter 图自同构与最长元 $w_0$ 在保持等距类型中的作用。

提出的方法

• 将排列多面体 $\mathsf{Perm}(W)$ 构造为 $\{M(w) = w(M(e)) \mid w \in W\}$ 的凸包，其中 $M(e) = \sum_{s \in S} \kappa_s v_s$。
• 通过移除对应于 $c$-可接受超平面的半空间，将广义 associahedron $\mathsf{Asso}_c(W)$ 定义为 $\mathsf{Perm}(W)$ 的子多面体。
• 将 $c$-Cambrian 锥体 $\mathcal{F}_c$ 作为 $\mathsf{Asso}_c(W)$ 的正常锥体，其中 $c$ 为 Coxeter 元素。
• 通过保持 $\kappa_s$ 的 Coxeter 图自同构 $\mu$ 所诱导的等距，建立 $\mathsf{Asso}_c(W)$ 与 $\mathsf{Asso}_{c'}(W)$ 之间的等距关系。
• 引入一个对合 $g$，将 $M(e)$ 映射到 $M(w_0)$，并利用其将 $\mathsf{Asso}_c(W)$ 与 $\mathsf{Asso}_{w_0 c^{-1} w_0}(W)$ 关联起来。
• 证明保持排列多面体与 associahedra 的等距映射诱导出满足 $\mu(c') = c$ 或 $\mu(c') = w_0 c^{-1} w_0$ 的图自同构 $\mu$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于不同的 Coxeter 元素 $c$ 与 $c'$，何时两个广义 associahedra $\mathsf{Asso}_c(W)$ 与 $\mathsf{Asso}_{c'}(W)$ 等距？
• RQ2 Coxeter 图的自同构如何影响广义 associahedron 的等距类？
• RQ3 最长元 $w_0$ 在关联等距 associahedra 中起什么作用？
• RQ4 在何种条件下两个 $c$-Cambrian 锥体作为锥体是等距的？
• RQ5 权重分配 $\kappa_s$ 如何影响 associahedron 的等距类型？

主要发现

• 两个广义 associahedra $\mathsf{Asso}_c(W)$ 与 $\mathsf{Asso}_{c'}(W)$ 等距当且仅当存在 Coxeter 图的自同构 $\mu$ 满足 $\kappa_s = \kappa_{\mu(s)}$，使得 $\mu(c') = c$ 或 $\mu(c') = w_0 c^{-1} w_0$。
• associahedron $\mathsf{Asso}_c(W)$ 的等距类仅依赖于 $c$ 在 $\mathrm{Aut}(\text{Coxeter 图}) \times \mathbb{Z}_2$ 作用下的轨道，其中 $\mathbb{Z}_2$ 作用为 $c \mapsto w_0 c^{-1} w_0$。
• $c$-Cambrian 锥体 $\mathcal{F}_c$ 与 $\mathcal{F}_{c'}$ 作为锥体等距当且仅当存在保持 $\kappa_s$ 的自同构 $\mu$，使得 $\mu(c') = c$ 或 $\mu(c') = w_0 c^{-1} w_0$。
• associahedron 的等距类独立于其在自同构群与 $w_0$ 反演作用下的轨道中 $c$ 的选择。
• 由图自同构 $\mu$ 构造的等距 $\varphi_\mu$ 保持 $c$-可接受的半空间，从而保证 $\varphi_\mu(\mathsf{Asso}_{c'}(W)) = \mathsf{Asso}_{\mu(c')}(W)$。
• 在可约情形下，通过考虑不可约分量的子集并为每个 $\mathcal{A} \subset \mathcal{D}$ 定义 $g_\mathcal{A}$-等距，可将分类推广，其中 $c^\mathcal{A}$ 通过反转 $\mathcal{A}$ 中的反射得到。