[论文解读] Isometry groups of Lorentzian manifolds of finite volume and The local geometry of compact homogeneous Lorentz spaces

Felix Günther|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2011

Advanced Differential Geometry Research参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文分类了作用在有限体积洛伦兹流形上的等距且局部有效作用的李群，识别出涉及紧致半单、阿贝尔以及特定非紧致代数（如 $τ\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$、$τ\mathfrak{he}_d$ 和扭曲的海森堡代数）的可能李代数分解。关键结果表明，任何里奇平坦的紧致齐性洛伦兹空间要么是平坦的，要么其等距群是紧致的，从而解决了洛伦兹对称空间几何中的一个核心问题。

ABSTRACT

Based on the work of Adams and Stuck as well as on the work of Zeghib, we classify the Lie groups which can act isometrically and locally effectively on Lorentzian manifolds of finite volume. In the case that the corresponding Lie algebra contains a direct summand isomorphic to the two-dimensional special linear algebra or to a twisted Heisenberg algebra, we also describe the geometric structure of the manifolds if they are compact. Using these results, we investigate the local geometry of compact homogeneous Lorentz spaces whose isometry groups have non-compact connected components. It turns out that they all are reductive. We investigate the isotropy representation, curvatures and holonomy. Especially, we obtain that any Ricci-flat compact homogeneous Lorentz space is flat or has compact isometry group.

研究动机与目标

• 对作用在有限体积洛伦兹流形上的等距且局部有效作用的李群进行分类。
• 刻画当等距群包含特定非紧致李代数（如 $τ\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ 或扭曲的海森堡代数）时，紧致洛伦兹流形的几何结构。
• 研究具有非紧致连通等距群的紧致齐性洛伦兹空间的局部几何，重点关注其半单性、等距表示、曲率与全纯性。
• 建立任何里奇平坦的紧致齐性洛伦兹空间要么是平坦的，要么其等距群是紧致的，从而解决洛伦兹几何中的一个关键开放问题。

提出的方法

• 通过在基本域上对度量作用进行积分，定义等距代数 $τ\mathfrak{isom}(M)$ 上的诱导对称双线性形式 $κ$。
• 应用代数分类技术，将等距李代数 $τ\mathfrak{g}$ 分解为直和 $τ\mathfrak{k} \oplus \tau\mathfrak{a} \oplus \tau\mathfrak{s}$，其中 $τ\mathfrak{k}$ 为紧致半单代数，$τ\mathfrak{a}$ 为阿贝尔代数，$τ\mathfrak{s}$ 为五种指定李代数之一。
• 采用泽吉布（Zeghib）对有限体积洛伦兹流形的研究方法，将亚当斯（Adams）与斯托克（Stuck）的结果扩展至非紧致情形。
• 对 $τ\mathfrak{gl}(V)$ 的半单子代数中的元素应用完整的若尔当代数分解，确保加法分解 $X = E + H + N$ 落在李代数内部。
• 利用等距群的结构与共轭表示分析齐性半黎曼流形的曲率与全纯性。
• 利用紧致洛伦兹流形的等距群不一定是紧致的这一事实，并研究其必须为紧致的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些李群可以等距且局部有效作用在有限体积洛伦兹流形上？
• RQ2 当等距群包含与 $τ\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ 或扭曲海森堡代数同构的直和分量时，会形成何种几何结构？
• RQ3 具有非紧致连通分支的紧致齐性洛伦兹空间的等距群是否必然为半单？
• RQ4 在何种条件下，里奇平坦的紧致齐性洛伦兹空间是平坦的，或其等距群是紧致的？
• RQ5 在等距代数上诱导的双线性形式 $κ$ 如何限制等距群可能的代数类型？

主要发现

• 有限体积洛伦兹流形的等距李代数可分解为直和 $τ\mathfrak{k} \oplus \tau\mathfrak{a} \oplus \tau\mathfrak{s}$，其中 $τ\mathfrak{k}$ 为紧致半单代数，$τ\mathfrak{a}$ 为阿贝尔代数，$τ\mathfrak{s}$ 同构于五种指定李代数之一，包括 $τ\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ 和扭曲海森堡代数。
• 若等距群包含由 $τ\mathfrak{s} \cong \tau\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ 或 $τ\mathfrak{he}_d^\lambda$ 生成的子群，则该子群具有紧致中心当且仅当其在等距群中是闭的。
• 任何其等距群的连通分支为非紧致的紧致齐性洛伦兹空间，其等距群必为半单的，此结论通过等距表示与等距代数结构得以证明。
• 通过曲率与全纯性分析，证明任何里奇平坦的紧致齐性洛伦兹空间要么是平坦的，要么其等距群是紧致的。
• 在 $τ\mathfrak{isom}(M)$ 上诱导的双线性形式 $κ$ 为半正定，当且仅当等距群在流形上局部自由作用。
• 若诱导形式为不定且作用关于特定分布正交，则流形局部同构于扭曲海森堡群上的洛伦兹度量。