[论文解读] Isomonodromy equations on algebraic curves, canonical transformations and Whitham equations

I. M. Krichever|ArXiv.org|Dec 11, 2001

advanced mathematical theories参考文献 12被引用 15

一句话总结

本论文构建了代数曲线上具有非正则奇点的亚纯联络的等单曲率方程的哈密顿理论，推导出显式的辛结构和惠特姆方程。结果表明，惠特姆方程在希钦系统谱曲线的模空间上定义了一个平坦联络，通过Lax表示和雅可比-阿基耶泽函数，将经典结果推广至高亏格和非正则奇点的情形。

ABSTRACT

The Hamiltonian theory of isomonodromy equations for meromorphic connections with irregular singularities on algebraic curves is constructed. An explicit formula for the symplectic structure on the space of monodromy and Stokes matrices is obtained. The Whitham equations for the isomonodromy equations are derived. It is shown that they provide a flat connection on the space of the spectral curves of the Hitchin systems.

研究动机与目标

• 为代数曲线上具有非正则奇点的亚纯联络的等单曲率方程建立哈密顿形式化。
• 推导出单值和 Stokes 数据空间上辛结构的显式公式。
• 建立惠特姆方程作为来自等单曲率变形的相容演化方程系。
• 证明惠特姆方程在希钦系统谱曲线模空间上定义了一个平坦联络。
• 将Lax表示方法推广至具有非正则奇点的高亏格曲线，扩展了有理曲线和椭圆曲线的结果。

提出的方法

• 通过具有指定极点结构和额外正则奇点形式 $ d\Phi\Phi^{-1} $ 的亚纯矩阵微分形式，以Lax对形式表示等单曲率方程。
• 利用局部数据参数化联络空间：极点处的奇点部分、非正则奇点处的Stokes数据，以及满足 $ \alpha_s^T \beta_s = 1 $ 的秩一矩阵 $ L_{s0} = \beta_s \alpha_s^T $，模去 $ \alpha_s \to \lambda_s \alpha_s, \beta_s \to \lambda_s^{-1} \beta_s $ 的等价关系。
• 将单值数据定义为单值表示、Stokes矩阵和非正则奇点处的指数的组合，该组合在规范变换和归一化点选择下保持不变。
• 通过分析Lax算子形式展开的一阶项，将惠特姆层级构造为相容演化方程系。
• 利用雅可比-阿基耶泽函数 $ \psi $ 及其对偶 $ \psi^* $（以黎曼θ函数表示），分析复时间 $ t = x + iy $ 上演化方程的平均化。
• 通过证明 $ \psi^* L_1 \psi $ 的时间导数在复时间 $ t $ 上的平均为零，且其余项产生微分 $ dv^r $ 或 $ dv^i $，从而证明模空间上联络的平坦性，具体取决于平均方向。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为高亏格代数曲线上具有非正则奇点的亚纯联络显式构造等单曲率方程的哈密顿结构？
• RQ2 此类系统在单值和Stokes数据空间上的辛结构是什么？
• RQ3 惠特姆方程如何从等单曲率变形问题中自然涌现？它们定义了何种几何结构？
• RQ4 惠特姆方程以何种方式在希钦系统的谱曲线模空间上提供平坦联络？
• RQ5 在复时间 $ t $ 上的平均化过程如何导致惠特姆方程被识别为平坦联络？

主要发现

• 推导出适用于任意亏格代数曲线上具有非正则奇点的亚纯联络的单值和Stokes矩阵空间上辛结构的显式公式。
• 证明惠特姆方程是自然源于Lax系统等单曲率变形的相容演化方程。
• 惠特姆方程在模空间 $ \mathcal{M}_g(h) $ 上定义了一个平坦联络，该模空间对应于在点 $ P_m $ 处具有 $ h_m $ 阶局部坐标的代数曲线，推广了亏格零和一的已知结果。
• 谱曲线上微分 $ \widetilde{k} $ 的实周期被识别为惠特姆方程的积分。
• 由于雅可比-阿基耶泽函数的准周期性，时间导数项 $ \partial_t(\psi^* L_1 \psi) $ 在复时间 $ t $ 上的平均为零，从而导致联络的平坦性。
• 对应关系 $ \widetilde{L}_0 \mapsto \oint_c K $ 在 $ \mathcal{M}_g(h) $ 上的丛 $ \mathcal{S} $ 上定义了一个平坦联络，其联络形式由微分 $ dv^r $ 或 $ dv^i $ 决定，具体取决于平均方向。