[论文解读] Isomorphism between Differential and Moment Invariants under Affine Transform

Erbo Li, Hua Li|arXiv (Cornell University)|May 20, 2017

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文建立了仿射变换下微分不变量与矩不变量之间的同构关系，表明通过将已知矩不变量中的矩替换为同阶导数，即可推导出微分不变量。该方法利用成熟的矩理论，实现无需方程的微分不变量简便推导，并通过筛选过程扩展至仿射与射影微分不变量的应用。

ABSTRACT

The invariant is one of central topics in science, technology and engineering. The differential invariant is essential in understanding or describing some important phenomena or procedures in mathematics, physics, chemistry, biology or computer science etc. The derivation of differential invariants is usually difficult or complicated. This paper reports a discovery that under the affine transform, differential invariants have similar structures with moment invariants up to a scalar function of transform parameters. If moment invariants are known, relative differential invariants can be obtained by the substitution of moments by derivatives with the same order. Whereas moment invariants can be calculated by multiple integrals, this method provides a simple way to derive differential invariants without the need to resolve any equation system. Since the definition of moments on different manifolds or in different dimension of spaces is well established, differential invariants on or in them will also be well defined. Considering that moments have a strong background in mathematics and physics, this technique offers a new view angle to the inner structure of invariants. Projective differential invariants can also be found in this way with a screening process.

研究动机与目标

• 建立仿射变换下微分不变量与矩不变量之间的结构同构关系。
• 提供一种无需求解复杂方程组的系统化微分不变量推导方法。
• 通过仿射不变量的筛选过程，将该框架扩展至射影微分不变量。
• 利用数学与物理学中成熟的矩理论，为不变量的内在结构提供新见解。

提出的方法

• 通过在已知矩不变量中用同阶导数替换矩，推导微分不变量，仅相差一个变换参数的标量函数。
• 利用中心矩及其多项式形式，构建仿射变换下的平移不变微分不变量。
• 将雅可比行列式 $ J $ 作为分母中的缩放因子，根据参与的生成函数数量 $ g $ 进行调整。
• 利用生成函数 $ g $ 系统地构造特定次数与阶数的不变量，其中 $ g $ 函数定义在点集之上。
• 通过函数形式与对称性，筛选仿射微分不变量，识别出在射影变换下也保持不变的不变量。
• 通过直接代入已知多项式形式并对比文献中的现有结果，验证不变量的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过结构同构，系统地从矩不变量推导出仿射变换下的微分不变量？
• RQ2 雅可比行列式在矩不变量转化为微分不变量的过程中起什么作用？
• RQ3 如何利用生成函数框架构造任意阶数与次数的不变量？
• RQ4 哪些仿射微分不变量也对射影群保持不变，其定义条件是什么？
• RQ5 矩不变量与微分不变量之间的同构关系能否推广至高维空间与流形？

主要发现

• 本文证明，仿射变换下的微分不变量与矩不变量具有相同的结构形式，仅相差一个变换参数的标量函数。
• 由式 (9) 中的矩不变量推导出的一阶微分不变量对应拉普拉斯算子，具有旋转不变性。
• 由二次矩不变量推导出的式 (24) 中的微分不变量，被证明是具有 $ J^{-2} $ 分母因子的仿射不变量，且为导数的三次齐次多项式。
• 通过生成函数 $ \frac{1}{2}g(1,2,3)g(2,3,4) $ 构建了一个三维射影微分不变量，得到一个导数的四次齐次多项式，其缩放因子为 $ J_3^{-2} $。
• 该方法可在不求解微分方程或代数方程组的前提下推导微分不变量，仅依赖于基于矩的多项式替换。
• 猜想 1 提出，形如 $ g(1,2,...,m-1)g(2,3,...,m) $ 的生成函数可能在 $ m $-维空间中定义射影微分不变量。