[论文解读] Isomorphism classes of $k$-involutions of algebraic groups of type $E_6$

John Hutchens|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文利用艾伯特代数的正交群与布朗代数的自同构群，对特征不为2或3的域上分裂代数群类型 $\operatorname{E}_6$ 的 $k$-对合（阶为2的自同构）的同构类进行了分类。关键结果是通过与四元数代数和伽罗瓦上同调相关的不变量，完全分类了这些 $k$-对合，并在代数闭域、实数域、有限域及 $p$-进域上给出了显式代表元。

ABSTRACT

Automorphisms of order $2$ are studied in order to understand generalized symmetric spaces. The groups of type $E_6$ we consider here can be realized as both the group of linear maps that leave a certain determinant invariant, and also as the identity component of the automorphism group of a class of structurable algebras known as Brown algebras. We will classify the $k$-involutions of these groups of type $E_6$ using aspects of both descriptions, and give detailed descriptions of representatives over certain fields including algebraically closed fields, $\mathbb{R}$, $\mathbb{F}_p$, and $\mathbb{Q}_p$.

研究动机与目标

• 对特征不为2或3的域上分裂代数群类型 $\operatorname{E}_6$ 的 $k$-对合作分类。
• 理解对合固定子群 $H$ 的对称 $k$-簇 $G(k)/H(k)$ 的结构。
• 统一 $\operatorname{E}_6$ 的两种实现方式：作为艾伯特代数的正交群，以及作为布朗代数自同构群的单位连通分支。
• 通过涉及 $G(k)$-同构类的 $k$-内元素与根数据上的可接受对合的不变量，确定 $k$-对合的同构类。
• 在代数闭域、实数域、有限域及 $p$-进域上，提供同构类的显式代表元。

提出的方法

• 利用 $\operatorname{E}_6$ 的双重实现：作为分裂艾伯特代数 $J$ 的 $\operatorname{Inv}(J)$ 和布朗代数 $B$ 的 $\operatorname{Aut}^+(B)$，以分析 $k$-对合。
• 应用伽罗瓦上同调，特别是 $H^1(k, \mu_2)$，对 $k$-内元素进行分类，并将其与 $k$-对合的同构类关联。
• 利用李代数上的 $\mathbb{Z}_2$-加细与 $k$-对合之间的对应关系，利用内 $k$-对合对应于 $\mu_2$ 嵌入 $\operatorname{Aut}(\mathcal{A})$ 的事实。
• 借助复合代数（特别是四元数代数）的结构，捕捉 $k$-对合同构类的变体。
• 利用精细阿贝尔群加细及其在自同构群同构下的等价性理论，将 $\mathfrak{e}_6$ 上的加细与 $k$-对合关联。
• 依赖于 $H^1(k, Z_G(r))$ 与某些代数的 $K/k$-形式的伽罗瓦上同调类之间的双射，将上同调不变量与 $k$-对合类联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 分裂 $\operatorname{E}_6$ 群的 $k$-对合同构类如何依赖于域 $k$？
• RQ2 四元数代数在参数化 $\operatorname{E}_6$ 的 $k$-对合同构类中起什么作用？
• RQ3 根数据上的不变量与 $G(k)$-同构类的 $k$-内元素如何对 $k$-对合进行分类？
• RQ4 $k$-对合在代数闭域、实数域、有限域及 $p$-进域上的显式结构是什么？
• RQ5 定义表示（艾伯特代数、布朗代数、八元数代数）上的加细如何对应于 $\operatorname{E}_6$ 的 $k$-对合？

主要发现

• $\operatorname{E}_6$ 群的 $k$-对合同构类通过涉及根数据上的可接受对合与 $G(k)$-同构类的 $k$-内元素的不变量进行分类。
• $k$-对合同构类的变化主要由 $k$ 上特定四元数代数的同构类决定，如引理5.8所示。
• 定理5.9提供了一种方法，用于在 $J$ 为分裂代数时，通过上同调与代数不变量确定 $\operatorname{Inv}(J)$ 与 $\operatorname{Aut}^+(B)$ 的 $k$-对合同构类。
• 定理5.10给出了在代数闭域、$\mathbb{R}$、有限域及 $\mathfrak{p}$-进域上 $k$-对合同构类的显式代表元。
• 该分类依赖于 $\operatorname{E}_6$ 同时作为艾伯特代数的正交群与布朗代数自同构群的单位连通分支的结构，从而实现统一方法。
• 通过 $\mu_2$ 嵌入 $\operatorname{Aut}(\mathcal{A})$，建立了李代数上的 $\mathbb{Z}_2$-加细与 $k$-对合之间的对应关系，且 $\mathcal{A}$ 上的加细诱导出 $\mathfrak{e}_6$ 上的相应加细。