[论文解读] Isomorphism of regular trees and words

Markus Lohrey, Christian Mathissen|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2011

semigroups and automata theory被引用 5

一句话总结

本文確立了由有限自動機表示的正則樹與正則線性序（推廣的字詞）的同構問題的計算複雜度。研究證明，以NFA表示的正則樹的同構問題為EXPTIME完全，而以無環NFA（以壓縮方式表示有限樹）表示的同構問題則為PSPACE完全。對於由DFA表示的正則線性序，本文提出了一種多項式時間演算法，解決了Ésik與Bloom提出的開放問題。

ABSTRACT

The computational complexity of the isomorphism problem for regular trees, regular linear orders, and regular words is analyzed. A tree is regular if it is isomorphic to the prefix order on a regular language. In case regular languages are represented by NFAs (DFAs), the isomorphism problem for regular trees turns out to be EXPTIME-complete (resp. P-complete). In case the input automata are acyclic NFAs (acyclic DFAs), the corresponding trees are (succinctly represented) finite trees, and the isomorphism problem turns out to be PSPACE-complete (resp. P-complete). A linear order is regular if it is isomorphic to the lexicographic order on a regular language. A polynomial time algorithm for the isomorphism problem for regular linear orders (and even regular words, which generalize the latter) given by DFAs is presented. This solves an open problem by Esik and Bloom.

研究动机与目标

• 確立正則樹與正則線性序的同構問題的計算複雜度。
• 解決Ésik與Bloom提出的關於正則線性序同構的開放問題。
• 分析不同自動機表示方式（DFA、NFA、無環自動機）對同構測試複雜度的影響。
• 為由DFA表示的正則線性序同構問題提供多項式時間演算法。
• 針對不同類型的自動機輸入，建立緊緻的複雜度界限（例如EXPTIME完全、PSPACE完全）。

提出的方法

• 透過NFA或DFA表示正則語言上的前綴序來表示正則樹。
• 將正則樹的同構問題歸約為自動機理論構造，並利用交替圖靈機模擬來證明EXPTIME難度。
• 利用Lindell關於顯式給出的有限樹之對數空間同構測試的結果，推導出無環NFA的PSPACE上界。
• 採用基於比較轉移結構與有序樹中子樹同構的遞迴同構檢查方法。
• 透過有序正則樹的邊界字詞，提出正則字詞的新特徵化方法，將樹同構連結至字詞同構。
• 在前綴封閉的DFA中，使用補集封閉與非決定性對數空間遍歷，採用基於狀態對的遞迴演算法，於NL中運作。

实验结果

研究问题

• RQ1 以NFA表示的正則樹的同構問題的計算複雜度為何？
• RQ2 當輸入自動機為無環NFA（以壓縮方式表示有限樹）時，複雜度如何變化？
• RQ3 是否存在一種多項式時間演算法，用於由DFA表示的正則線性序的同構問題？
• RQ4 以NFA表示的正則線性序的同構問題的複雜度為何？
• RQ5 能否透過邊界字詞構造，將正則字詞的同構問題歸約至樹同構問題？

主要发现

• 以NFA表示的正則樹的同構問題為EXPTIME完全。
• 對於無環NFA，其對應有限樹的同構問題為PSPACE完全。
• 以DFA表示的正則樹的同構問題為P完全。
• 本文提出了一種多項式時間演算法，用於由DFA表示的正則線性序同構問題，解決了該開放問題。
• 以NFA表示的正則線性序的同構問題處於EXPTIME，且為PSPACE難，因此在PSPACE與EXPTIME之間存在複雜度差距。
• 對於前綴封閉的DFA，同構問題為NL完全；對於前綴封閉的NFA，則為PSPACE完全。