[论文解读] Isomorphisms of jet schemes

Shihoko Ishii, J. Winkelmann|ArXiv.org|Aug 8, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文研究了喷射概形的同构是否意味着其底层概形的同构。证明了若 $m$-喷射概形的同构源自基概形的态射，则该基态射必为同构。然而，通过丹尼尔夫斯基曲面构造了一个反例，表明仅凭喷射概形同构并不能推出基概形同构，即使对所有 $m \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ 成立。

ABSTRACT

If two schemes are isomorphic, then their $m$-jet schemes are isomorphic for all $m$. In this paper we consider the converse problem. We prove that if an isomorphism of the $m$-jet schemes is induced from a morphism of the base schemes, then the morphism of the base schemes is an isomorphism. But we also prove that just the existence of isomorphisms between $m$-jet schemes does not yield the existence of an isomorphism between the base schemes.

研究动机与目标

• 研究对所有 $m \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$，$m$-喷射概形的同构是否蕴含其底层概形的同构。
• 确定诱导喷射概形同构的态射是否存在，是否意味着该态射必为同构。
• 构造一个反例，使得对所有 $m$ 有 $X_m \simeq Y_m$，但 $X \not\simeq Y$，从而证明逆命题不成立。

提出的方法

• 利用喷射概形作为 graded $\mathcal{O}_X$-代数的结构，特别是通过截断态射 $\psi_{m,m'}: X_m \to X_{m'}$ 的滤子结构。
• 应用范畴商性质：由 $t \mapsto st$ 诱导的 $G = \mathbb{G}_m$-作用下，投影 $\pi_m: X_m \to X$ 是范畴商。
• 分析从 canonical 截面 $\sigma_{m-1}: X \to X_{m-1}$ 的像定义理想 $\mathcal{J}^{(m)}$，证明其由 $\bigoplus_{i=1}^{m-1} \mathcal{R}^{(m-1)}_i$ 生成。
• 利用正合列 $0 \to \mathcal{J}_m^{(m)} \to \mathcal{R}_m^{(m)} \to \Omega_{X/k} \to 0$ 将喷射概形与余切层联系起来。
• 通过丹尼尔夫斯基曲面 $X: xz - y^2 + 1 = 0$ 和 $Y: x^2z - y^2 + 1 = 0$ 构造反例，二者非同构但喷射概形同构。
• 利用 $X \times \mathbb{A}^1 \simeq Y \times \mathbb{A}^1$ 及 canonical bundle 的平凡性，推导出对有限 $m$ 有 $X_m \simeq X \times \mathbb{A}^{2m}$，$Y_m \simeq Y \times \mathbb{A}^{2m}$，并对 $m = \infty$ 取投射极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 若 $m$-喷射概形 $X_m$ 与 $Y_m$ 存在同构，是否意味着基概形 $X$ 与 $Y$ 同构？
• RQ2 若 $m$-喷射概形的同构源自态射 $f: X \to Y$，则 $f$ 是否必为同构？
• RQ3 两个非同构的概形能否对所有 $m \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ 满足 $m$-喷射概形同构？

主要发现

• 若态射 $f: X \to Y$ 诱导出某个 $m$ 的同构 $f_m: X_m \to Y_m$，则 $f$ 必为概形的同构。
• 当 $\Omega_{X/k} \simeq \mathcal{O}_X^{\oplus 2}$ 时，$k$-概形 $X$ 的喷射概形 $X_m$ 同构于 $X \times \mathbb{A}_k^{2m}$，该条件对丹尼尔夫斯基曲面成立。
• 对由 $xz - y^2 + 1 = 0$ 和 $x^2z - y^2 + 1 = 0$ 定义的丹尼尔夫斯基曲面 $X$ 和 $Y$，有 $X_m \simeq Y_m$ 对所有 $m \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ 成立，尽管 $X \not\simeq Y$。
• $\infty$-喷射概形 $X_\infty$ 同构于 $Y_\infty$，因为相容同构 $X_m \simeq Y_m$ 的投射极限存在。
• 由于 canonical bundle 的平凡性与余切层的结构，喷射概形 $X_m$ 与 $Y_m$ 分别同构于 $X \times \mathbb{A}_k^{2m}$ 与 $Y \times \mathbb{A}_k^{2m}$。
• 该反例表明，喷射概形一般无法检测基概形的同构类，即使所有喷射概形均同构。