[论文解读] Isoparametric hypersurfaces in Finsler space forms

Qun He, Yali Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 19被引用 4

一句话总结

本论文在可逆挠率消失的条件下，为常旗曲率的Finsler空间形式中的等曲率超曲面建立了广义Cartan型公式。通过利用测地线与Jacobi场理论分析焦点子流形、管状邻域和平行超曲面，证明了焦点子流形是各向异性极小的，并基于主曲率与重数对超曲面进行了分类，将经典黎曼几何的结果推广至Finsler几何。

ABSTRACT

In this paper, we study isoparametric hypersurfaces in Finsler space forms by investigating focal points, tubes and parallel hypersurfaces of submanifolds. We prove that the focal submanifolds of isoparametric hypersurfaces are anisotropic-minimal and obtain the Cartan-type formula in a Finsler space form with vanishing reversible torsion, from which we give some classifications on the number of distinct principal curvatures or their multiplicities.

研究动机与目标

• 将等曲率超曲面的分类从黎曼空间形式推广至具有常旗曲率的Finsler空间形式。
• 通过发展基于焦点子流形和平行超曲面的新技术，克服Cartan原始方法在Finsler几何中的局限性。
• 在可逆挠率消失的Finsler空间形式中建立Cartan型公式，实现基于主曲率及其重数的超曲面分类。

提出的方法

• 利用测地线与Jacobi场理论，引入Finsler空间形式中各向异性子流形的焦点点、管状邻域和平行超曲面。
• 通过分析焦点子流形的主曲率及其与旗曲率和挠率的关系，推导出广义Cartan型公式。
• 利用通过Legendre变换定义的Finsler-Laplacian与梯度，刻画等曲率函数与超曲面。
• 应用Randers空间中可逆挠率的理论，特别地，将零S-曲率与零可逆挠率联系起来。
• 在具有常旗曲率的Randers空间形式中，建立零S-曲率与零可逆挠率的等价性。
• 采用Randers度量的导航表示法，表达对偶度量与测地线系数，从而实现对挠率与曲率项的显式计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将等曲率超曲面的Cartan型公式推广至非零旗曲率与非黎曼结构的Finsler空间形式？
• RQ2 在Finsler空间形式中，何种挠率或曲率条件能保证焦点子流形的极小性？
• RQ3 在可逆挠率消失的Finsler空间形式中，不同主曲率的数量与重数如何约束等曲率超曲面的几何结构？
• RQ4 在何种条件下，Finsler空间形式中的等曲率超曲面具有对称性，或可类似黎曼情形进行分类？
• RQ5 可逆挠率如何影响法测地线的行为及等曲率超曲面的焦点结构？

主要发现

• 在可逆挠率消失的Finsler空间形式中，广义Cartan型公式成立，其形式为 ∑_{j≠i} k_j (c + λ_i λ_j)/(λ_i − λ_j) = 0，其中 k_j ≥ m_j，且当 τ = 0 时 k_j = m_j。
• 当 τ = 0 时，等曲率超曲面的每个焦点子流形均为各向异性极小，推广了黎曼几何中的极小性结果。
• 在 c ≤ 0 且可逆挠率消失的Finsler空间形式中，等曲率超曲面的主曲率至多有两个不同的值。
• 在正曲率Finsler空间形式中，当 τ = 0 时，主曲率为 λ_i = √c cot θ_i，其中 θ_i 满足由Cartan型公式导出的方程组。
• 在正旗曲率的Finsler空间形式中，法测地线上焦点点的数量可能超过 2g，与黎曼球面情形不同。
• 在S-曲率为零的Randers空间中，可逆挠率消失，且具有常旗曲率的空间满足 c = c̄ 与 c′ = 0，意味着S-曲率与挠率同时为零。