[论文解读] Isoperimetric inequalities and the asymptotic rank of metric spaces

Stefan Wenger|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2007

Fixed Point Theorems Analysis被引用 2

一句话总结

该论文证明了具有锥型不等式的度量空间——如哈达玛空间——当k不小于空间的渐近秩时，其k-循环具有次欧几里得的等周不等式。关键贡献在于，高阶等周不等式能够检测渐近秩，支持了格罗莫夫关于在秩以上存在线性等周不等式的猜想，并将结果推广至具有多项式锥型不等式的空间中的多项式等周界 bounds。

ABSTRACT

Abstract. In this article we study connections between the asymptotic rank of a metric space and higher-dimensional isoperimetric inequalities. We work in the class of metric spaces admitting cone type inequalities which, in particular, includes all Hadamard spaces, i. e. simply connected metric spaces of nonpositive curvature in the sense of Alexandrov. As was shown by Gromov, spaces with cone type inequalities admit isoperimetric inequalities of at most Euclidean type. Here we prove that they admit isoperimetric inequalities of sub-Euclidean type for k-cycles whenever k is greater or equal to their asymptotic rank. As a consequence it follows that the higher-dimensional isoperimetric inequalities can be used to detect the asymptotic rank of such spaces. Our work is to some extent inspired by a conjecture of Gromov which, in the case of proper cocompact Hadamard spaces, asserts even linear isoperimetric inequalities above the asymptotic rank. Our methods can moreover be used to establish polynomial isoperimetric inequalities for metric spaces admitting polynomial cone type inequalities. These include spaces with polynomial Lipschitz combings.

研究动机与目标

• 研究度量空间中渐近秩与高阶等周不等式之间的关系。
• 确定等周不等式是否能够检测具有锥型不等式的空间的渐近秩。
• 将格罗莫夫关于在渐近秩以上存在线性等周不等式的猜想推广至更广泛的类空间。
• 为具有多项式锥型不等式的空间建立多项式等周不等式，包括具有多项式利普希茨编织的空间。

提出的方法

• 分析在满足锥型不等式的度量空间类中进行，该类包括哈达玛空间。
• 作者利用锥型不等式的结构，推导出k-循环填充体积的界。
• 他们应用几何与度量空间技术，表明当k ≥ 渐近秩时，等周不等式得到改善（变为次欧几里得）。
• 该方法可推广至具有多项式锥型不等式的空间，从而得到多项式等周界。
• 该方法利用了非正曲率空间中填充已知结果，并将其推广至更高上同调维数。
• 该框架使得可通过等周行为（特别是次欧几里得区域）检测渐近秩。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶等周不等式能否检测具有锥型不等式的度量空间的渐近秩？
• RQ2 当k不小于渐近秩时，具有锥型不等式的空间是否对k-循环满足次欧几里得等周不等式？
• RQ3 多项式锥型不等式在多大程度上蕴含此类空间中的多项式等周不等式？
• RQ4 格罗莫夫关于在渐近秩以上存在线性等周不等式的猜想是否在具有锥型不等式的更广类空间中成立？
• RQ5 渐近秩能否通过等周增长速率内在地表征？

主要发现

• 当k ≥ 渐近秩时，具有锥型不等式的度量空间中的k-循环具有次欧几里得等周不等式。
• 此类空间的渐近秩可通过k-循环等周常数的增长率检测。
• 该论文通过在锥型不等式设定下建立秩以上次欧几里得等周性，证实了格罗莫夫猜想的较弱形式。
• 具有多项式锥型不等式的空间满足多项式等周不等式，结果推广至具有多项式利普希茨编织的空间。
• 该方法通过等周行为提供了渐近秩的几何表征，且不依赖于曲率假设。
• 结果统一并推广了哈达玛空间中的已知等周界，并将其扩展至更广泛的非正曲率及多项式锥型空间类。