[论文解读] Isoperimetric inequality for the second non-zero eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator on the projective plane

Penskoi Alexei, S Nadirashvili Nikolai|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 44被引用 4

一句话总结

该论文建立了实射影平面上单位面积度量下拉普拉斯-贝尔特拉米算子第二非零特征值的等周不等式，证明其上界至多为 20π。当一序列度量收敛至一个将射影平面与球面以 3:2 面积比结合的奇异度量时，该上界被逼近，且该特征值的重数至多为 6。

ABSTRACT

An isoperimetric inequality for the second non-zero eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator on the real projective plane is proven. For a metric of area 1 this eigenvalue is not greater than 20\pi. This value could be attained as a limit on a sequence of metrics of area 1 on the projective plane converging to a singular metric on the projective plane and the sphere with standard metrics touching in a point such that the ratio of the areas of the projective plane and the sphere is 3:2. It is also proven that the multiplicity of the second non-zero eigenvalue on the projective plane is at most 6.

研究动机与目标

• 建立实射影平面上单位面积度量下拉普拉斯-贝尔特拉米算子第二非零特征值的等周不等式。
• 在单位面积约束下，确定该特征值的最优上界。
• 分析一序列度量收敛至将射影平面与球面结合的奇异度量时的极限行为。
• 研究射影平面上第二非零特征值可能的最大重数。

提出的方法

• 利用谱几何技术分析实射影平面上面积为 1 的黎曼度量下拉普拉斯-贝尔特拉米算子的特征值。
• 构造一序列定义在射影平面上的度量，使其收敛至由射影平面与球面以 3:2 面积比结合而成的奇异度量。
• 应用变分原理与特征值比较方法来界定第二非零特征值。
• 利用拓扑与几何约束，将第二非零特征值的重数限制在至多 6。
• 分析度量退化至奇异构型时特征值的渐近行为。
• 利用标准球面与射影平面特征值的已知结果，推导出极值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单位面积约束下，实射影平面上拉普拉斯-贝尔特拉米算子第二非零特征值的最优上界是什么？
• RQ2 该上界是否可实现？若可实现，其几何极限条件为何？
• RQ3 射影平面上第二非零特征值的最大可能重数是多少？
• RQ4 当度量退化为包含射影平面与球面的奇异构型时，特征值如何变化？
• RQ5 在极限度量中，射影平面与球面之间 3:2 的面积比起何作用？

主要发现

• 面积为 1 的实射影平面上，拉普拉斯-贝尔特拉米算子的第二非零特征值至多为 20π。
• 当一序列度量收敛至将射影平面与球面结合的奇异度量时，该值 20π 在极限下被实现。
• 极限度量由实射影平面与一个球面组成，二者面积比为 3:2。
• 第二非零特征值的上界为 20π，且在极限下该上界是精确的。
• 射影平面上第二非零特征值的重数至多为 6。
• 通过一个退化过程逼近极值特征值，其几何形态逐渐趋近于 RP² 与 S² 的并集，且面积比例受控。